Большая Советская Энциклопедия (НА) полностью

  Сумма квадратов S представляет собой квадратичный многочлен относительно переменных X_j ; этот многочлен достигает минимума при таких значениях X₁ , X₂ ,..., Х_m , при которых обращаются в нуль все первые частные производные:

Отсюда следует, что оценки X_j , полученные согласно Н. к. м., должны удовлетворять системе так называемых нормальных уравнений, которая в обозначениях, предложенных Гауссом, имеет вид:

где

  Оценки X_j , получающиеся в результате решения системы нормальных уравнений, лишены систематических ошибок (Ex_j = x_j ); дисперсии Dx_j ; величин X_j равны kd_jj /d , где d — определитель системы (5), а d_jj — минор, соответствующий диагональному элементу [ра_j a_j ] (иными словами, d_jj /d — вес оценки X_j ). Если множитель пропорциональности k (k называется дисперсией на единицу веса) заранее неизвестен, то для его оценки, а также для оценки дисперсии Dx_j служат формулы:

  k » S/ (n - m ) и Dx_j » s²_j = Sd_jj /d (n - m )

(S — минимальное значение исходной суммы квадратов). При некоторых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений n достаточно велико, то абсолютная погрешность приближённого равенства x_i » X_j меньше ts_j с вероятностью, близкой к значению интеграла (1). Если случайные ошибки наблюдений d_i подчиняются нормальному распределению, то все отношения (X_j - x_j )/s_j распределены по закону Стьюдента с n - m степенями свободы [точная оценка абсолютной погрешности приближённого равенства производится здесь с помощью интеграла (2) так же, как в случае одного неизвестного]. Кроме того, минимальное значение суммы S в вероятностном смысле не зависит от X₁ , X₂ ,..., X_m и поэтому приближённые значения дисперсий оценок Dx_j » s²_j не зависят от самих оценок X_j .

  Один из наиболее типичных случаев применения Н. к. м. — «выравнивание» таких результатов наблюдений Y_i , для которых в уравнениях (3) a_ij = a_j (t_i ), где a_j (t ) — известные функции некоторого параметра t (если t — время, то t₁ , t₂ ,... — те моменты времени, в которые производились наблюдения). Особенно часто встречается в приложениях случай так называемой параболической интерполяции, когда a_j (t ) — многочлены [например, a₁ (t ) = 1, a₂ (t ) = t , a₃ (t ) = t² ,... и т.д.]; если t₂ — t₁ = t₃ — t₂ =... = t_n — t_n-1 , a наблюдения равноточные, то для вычисления оценок X_j можно воспользоваться таблицами ортогональных многочленов, имеющимися во многих руководствах по современной вычислительной математике. Другой важный для приложения случай — так называемая гармоническая интерполяция, когда в качестве a_j (t ) выбирают тригонометрические функции [например, a_j (t ) = cos (j - 1) t , j = 1, 2,..., m ].

  Пример. Для оценки точности одного из методов химического анализа этим методом определялась концентрация CaO в десяти эталонных пробах заранее известного состава. Результаты равноточных наблюдений указаны в таблице (i — номер эксперимента, t_i — истинная концентрация CaO, T_i — концентрация CaO. определённая в результате химического анализа, Y_i = T_i - t_i — ошибка химического анализа):

Если результаты химического анализа не имеют систематических ошибок, то Ey_i = 0. Если же такие ошибки имеются, то в первом приближении их можно представить в виде: Ey_i = a + bt_i (a называется постоянной ошибкой, а bt_i — методической ошибкой) или, что то же самое,

где

  Для отыскания оценок a и b достаточно оценить коэффициенты

Условные уравнения в данном случае имеют вид:

поэтому a_i1 = 1, a_i2 = t_i - t (согласно предположению о равноточности наблюдений, все p_i = 1). Так как

то система нормальных уравнений записывается особенно просто:

[a₁ a₁ ] X₁ = [Ya₁ ]; [a₂ a₂ ] X₂ = [Ya₂ ],

где

  Дисперсии компонент решения этой системы суть

где k — неизвестная дисперсия на единицу веса (в данном случае k — дисперсия любой из величин Y_i ). Так как в этом примере компоненты решения принимают значения X₁ = -0,35 и X₂ = -0,00524, то

  Dx₁ » s₁² = 0,00427,

  Dx₂ » s₂² = 0,0000272,

  s₁ = 0,065, s₂ = 0,00522.