В рамках нашей культурологической модели бесконечномерные симплексы – главным образом нонсенс. И хотя мы до некоторой степени в состоянии представить систему с бесконечно большим числом элементов – например, совокупность лиц местоимений, порожденную ситуацией диалога ( n = 2, см. раздел 1.3) и состоящую не из трех (М = 3), а из бесконечного количества логико-грамматических мест, – такой вариант очевидно лишен практического значения. Поэтому решение М = ∞ (бесконечности); в основном оставляем за скобками, впрочем, отдавая себе при этом отчет, что его формальное наличие соответствует некоему следу в интеллектуальном переживании той же ситуации диалога и потому дает знать о себе в виде более или менее глухой коннотации. Последняя привносит специфический "иррациональный" оттенок в контекст, формирует фон или почву, на которых зиждится и взрастает вполне рациональный симплекс (в данном случае М = 3). Образно выражаясь, решение М = ∞ играет роль своеобразного моста, соединяющего совершенно иррациональную, неинтеллигибельную стихию (не схватываемую никаким числом вообще) с царством логики и числа. Статус бесконечности в качестве "получисла" – уже числа, но при этом лишенного определенности, величины – способствует выполнению этой задачи, сравнимой по характеру с процессом творческого порождения.
Отчасти сходное положение и с решением М = 0, сопровождающим все прочие "здравые" варианты. Как мы помним (см. начало раздела 1.4.1), при любой положительной кратности отношений n, наряду с "нормальным" случаем М = n + 1, выступает и этот: М = 0, – из-за чего к нему был применен эпитет "универсального". Несмотря на то, что элементов в системе нет и, казалось бы, не о чем говорить, в свое время мы отказались принять его прозвище "тривиального". Пора обосновать наш отказ.
Исторически числу нуль не очень везло. Человек знал уже много разновидностей чисел, даже иррациональных, но нужды в нуле долгое время не испытывал. Его по существу не ведал ни Древний Египет, ни Вавилон, не востребовала и античность. Зачем считать то, чего нет? (2) Нуль – действительно странное понятие.
Если счет или измерение имеют дело с реально существующими предметами, то в данном случае число уже есть, а предмета – нет. Нуль в роли представления и обозначения начал-таки проклевываться в Вавилоне – для фиксации отсутствующего разряда при записи количеств. Запись и подсчеты велись на разграфленных табличках, и если в каком-то столбце ничего не было, то, чтобы не путаться и чтобы туда случайно ничего не попало, место занимали специальным значком [142].(3) Греки при вычислениях на абаке применяли особый круглый камешек с отверстием посередине. Таковы первые свидетельства о формировании категории
Это были еще робкие попытки, нуль не обладал сколько-нибудь отчетливой самостоятельностью. На протяжении тысячелетий развития процедуры счета он сумел дотянуться лишь до статуса
Первыми, кто понял нуль именно как отдельное, реальное число, были, по-видимому, индийцы (по другим версиям, индийцы заимствовали его у китайцев [142, с. 178]). Вообще индийские математики отличались немалым своеобразием. С одной стороны, математики всех древних цивилизаций во многом повторяли друг друга, хотя и использовали разную символику, опирались на разные критерии убедительности. Вероятно, справедливо, когда историки говорят, что науку в современном смысле слова, в частности математическое доказательство, придумала ранняя античность и возводят последнее к риторическим спорам [128]. Публичные диспуты в Древней Греции были исключительно престижны, искусству обоснования своей точки зрения долго и старательно обучались (у софистов, философов). Победе в споре – перед лицом судей, сограждан, богов – придавалось и судьбоносное значение. Полагают, что Фалес (либо Пифагор) первым придумал способ "неотразимой" аргументации, финитное "что и требовалось доказать" до сих пор несет след той эпохи. Но словесное доказательство и убедительное знание – отнюдь не синонимы. У ученых может быть мотивация, весьма отличная от тщеславия греков. Иные из индийских математиков, например, вообще старались тратить поменьше слов. Вместо текста они помещали в рукописи рисунок для изображения, скажем, некоей геометрической истины и подписывали его: "Смотри!" [142]. Такая "голая" подпись сопровождает, среди прочих, чертеж, за которым стоит остроумнейшее, кратчайшее доказательство положения, называемого нами теоремой Пифагора. "Очевидность" в таких случаях становилась буквальной. Но сейчас речь об арифметике, а не геометрии.
