Евклид. Геометрия полностью

Если мы возьмем трактрису — кривую, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с осью OY является постоянной величиной (см. рисунок), — и будем вращать ее вокруг OY (ее асимптоты), то получим псевдосферу, первую модель гиперболической геометрии.

В 1899 году Гильберт опубликовал работу «Основания геометрии», в которой переписал «Начала» Евклида, дав им твердое основание и не прибегая ни к интуиции, ни к рисункам. Основные объекты — будь то «точки, прямые и плоскости» или «стулья, столы и пивные стаканы», как говорил Гильберт,— определялись исключительно аксиомами, которые устанавливали отношения между ними. Интересно, что Евклид принял за «истинную» не сферическую, а идеальную геометрию, основанную на абсолютно правильных построениях, а не на том, что мы видим вокруг. Единственно возможное объяснение — влияние Платона, благодаря которому Евклид по умолчанию признавал существование этой идеальной геометрии, не подверженной воздействию другой реальности, не подразумевающейся в ней самой.

Во Вселенной геометрия связана с поверхностью, на которой она рассматривается, то есть с геометрическими объектами. Представим, что мы, как современный Архимед, лежим в ванне и рисуем прямые линии на ее стенках: некоторые из них — на дне — будут прямыми в евклидовом смысле слова, другие будут восходящими кривыми (те, что идут со дна ванны вверх по стенкам) и нисходящими (те, что идут по стене от верхнего бортика). Теперь зададимся вопросом: почему некоторые из них могут называться прямыми, а другие нет?

Общая теория относительности Эйнштейна утверждает, что пространство и, следовательно, прямые, которые в нем содержатся, деформируются в присутствии значительных масс или энергий. Представим себе тяжелый свинцовый шар на большом барабане: его мембрана деформируется, то есть изгибается. Если шарик поменьше будет вращаться по краю, то по спирали «упадет» в центр. В пространстве происходит нечто похожее: тела с большой массой, аналогично свинцовому шару, искривляют пространственно-временной континуум и оказывают влияние на другие тела. Пространство подобно земной поверхности, форма которой также неидеальна, и тем не менее никто не отрицает, что в общем поверхность нашей планеты можно назвать шарообразной. Какова же геометрия Вселенной? Тела, обладающие большой массой и большой энергией, локально изменяют пространство, но если брать Вселенную в целом, какова ее геометрия? Можно ли считать ее евклидовой, гиперболической или эллиптической? Ответ надо искать не в математике, потому что математически все эти геометрии имеют право на существование: все они основаны на формальных принципах и обладают внутренней логикой. Ответ кроется в окружающей нас реальности.

Более века назад Карл Фридрих Гаусс задался тем же вопросом, что и мы. Как устроена Вселенная? Какова ее геометрия? Ученый пришел к выводу, что если бы он смог измерить три внутренних угла треугольника, вершинами которого являются три отдаленные друг от друга звезды, то понял бы геометрию Вселенной. Мы знаем, что...

Но расчеты Лобачевского и Фридриха Бесселя (1784- 1846), астронома и друга Гаусса, не дали никаких результатов. В 1981 году американский физик Алан Гут (1947) ввел понятие плотности Вселенной, которая равна отношению массы материи к единице объема. Существует ее критическое значение — ρ₀ = 4 х 10^-27 кг/м³. Оно определяет геометрию Вселенной и ее последующее развитие (см. таблицу).

На данный момент полученное значение равно 10% ρ₀. Таким образом, считается, что Вселенная имеет гиперболическую геометрию и расширяется резко. Слова Галилея обретают новое звучание: