Пользуясь этим инструментом, Евклид выдвинул два предположения: соотношение площадей либо больше соотношения квадратов диаметров, либо меньше. Запишем оба случая:
(1) S1/S2 < d21/d22 или (2) S1/S2 > d21/d22
В обоих случаях мы приходим к противоречию. Следовательно, соотношение между площадями и квадратами диаметров есть соотношение равенства.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ 2 ИЗ КНИГИ XIIВ случае когда
S1/S2 < d21/d22 (1)
предположим, что существует такая площадь S < S2, для которой
S1/S2 = d21/d22
Затем рассмотрим площадь Е = S2 - S. Метод исчерпывания гарантирует, что существует некий многоугольник Р2, вписанный в S2, который заполняет его так, что S2 - Р2 < Е = S2 -S. Это приводит к неравенству S < Р2. Теперь рассмотрим многоугольник Р2, вписанный в круг (то есть Р2 < S1, подобный P2. Из предложения 1 книги XII мы знаем, что
P1n/P2n = d21/d22 ,
где n = 2k. Исходя из общего понятия 1 мы имеем
P1n/P2n = d21/d22 = S1/S2,
где S < Р2 и Р2 < S1, что противоречит определению равенства соотношений (книга V, определение 5). Следовательно, первое допущение (1) неверно. Затем Евклид таким же образом рассматривает второе допущение
S1/S2 > d21/d22 (2)
и приходит к выводу, что оно также неверно. Следовательно, отношение должно быть следующим:
S1/d21 = S2/d22
Возникают два вопроса. Откуда Евклид знал, что он должен был доказать? Другими словами, почему он взял соотношение именно между площадями и диаметрами? Он неявно использовал метод доведения до предела, который мы рассмотрели выше? Мы не знаем. С другой стороны, для доказательства (1) Евклид предположил существование площади S < S2, при которой
S1/S = d21/d22 .
Это означает, что при данных площадях S1, d21, d22 он предположил существование «площади S, являющейся четвертой пропорциональной». Однако Евклид доказал ее существование только для трех прямых, а не для трех площадей.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА πВо второй половине XIX века англичанин Генри Ринд приобрел папирус, датированный примерно 1650 годом до н.э. и названный впоследствии его именем. Этот папирус, в свою очередь, был копией еще более древнего папируса, 1800 года до н.э., и содержал задачи по определению объема цилиндрических силосов для хранения зерна. Его автор, писец Ахмес, хотел узнать площадь круга, лежащего в основании цилиндра, что привело его к определению числа π. В древности его обычно считали равным 3. Однако Ахмес предложил более точное значение π, приблизительно сведя окружность к восьмиугольнику
Дан квадрат, состоящий из девяти частей по сторонам. Разделим его на девять квадратов так, что сторона каждого из них будет равна трем этим частям. Уберем четыре прямоугольных треугольника с вершинами, образующимися при проведении диагонали. Площадь получившегося восьмиугольника будет равна
9² - 4 x (3 x 3)/2 = 81 -18 = 63
частей в квадрате. Построим площадь круга с диаметром, равным девяти частям и 64 частям в квадрате [то есть 64 — квадрат числа]. Значение к при этом приближении будет равно
π = 64/(9/2)² = (16/9)² = 3.16...
Такое значение π, действительное для всех фигур (то есть при любом значении диаметра d), получается при наложении двух плоских фигур — круга и восьмиугольника. Более тысячи лет спустя Архимед, мудрец из Сиракуз, в своем кратком сочинении «Об измерении круга» изложил два новых результата.
