Евклид. Геометрия полностью

Первое определение является чисто философским. В нем отрицается числовая природа единицы, хотя Евклид использо вал ее как число — например, в следующем определении. Он также различает понятия «часть» (2 — часть 6, так как является его делителем) и «части» (5 — «части» 6 по противоположной причине). Здесь наблюдается аналогия с книгой V, хотя в ней вместо «части» говорится об «отношении», гораздо более сложном понятии. «Части» — основа многих арифметических доказательств Евклида: он рассматривает их в книге VII и прибегает к ним в книгах VIII и IX. Евклид также устанавливает различие между четным числом (N = n + n = 2n) и нечетным (N = 2n + 1) и предлагает классификацию чисел (не очень точную) на основе формул, которые мы сегодня бы записали так:

2^m, 2^m(2n + + 1), (2m +1) (2n + 1). Самые важные понятия книги VII — понятие «первого» (простого) числа, «составного» и чисел, «первых между собой». Определение 20 сегодня выглядело бы так:

m/n = p/q

только если существует такое λ Є Q, при котором если n = λ х m, то q = λ х р.

В заключение Евклид приводит довольно спорное определение совершенного числа, которое вряд ли принадлежит пифагорейской школе VI века. Некоторые приписывают его Гиппократу Хиосскому.

Математика — царица наук, а арифметика — царица математики.

Карл Фридрих Гаусс

Книга VII начинается со знаменитого алгоритма Евклида, который изучается еще в школе:

если даны два числа т и п, то существует число р, являющееся частью и m, и n.

Его смысл заключается в следующем: от большего числа, например m, вычитается меньшее, n, столько раз, сколько возможно. Остается число r < n и рассматривается пара n, r, процедура повторяется несколько раз, в результате чего мы имеем последовательность пар m, n; n, r, r, s; s, t; t, u; ...; х, y, y, z.

В какой-то момент 2 будет равна у, и это означает, что отнимать больше нечего. Выполняя обратное действие, мы убеждаемся, что у является делителем х и, в конце концов, что z делит и m, и n. К тому же это их наибольший общий делитель, так как любой общий для m и n делитель d делит также и 2.

Таким образом, z называется наибольшим общим делителем пары m и n. Сумма общих делителей m и n обычно обозначается как v. Если v равна единице, то m и n являются «первыми между собой». Этот метод определения отношений между числами называется взаимным вычитанием. Мы уже рассматривали его с геометрической точки зрения, когда анализировали несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Основное различие между этими случаями состоит в том, что, согласно Евклиду, в арифметике этот процесс должен рано или поздно подойти к концу, а в геометрии он продолжается до бесконечности.

Из алгоритма Евклида следует, что

m = q₀ ∙ n + r₁    r₁ < n

n = q₁ ∙ r₁ + r₂    r₂ < r₁

r₁ = q₂ ∙r₂ + r₃   r₃ < r₂

...

r_k-1 = q_k ∙ r_k.

С одной стороны, r_k-2 = q_{k-1 ∙} r_k-1 + r_k, с другой — r_k-1 = q_{k ∙} r_k. Таким образом, r_k-2 = q_k-1 ∙ (q_k ∙ r_k) + r_k = (q_k-1 ∙ q_k + 1) ^_∙ r_k, где q_k-1 ∙ q_k + 1 — натуральное число. Следовательно, r_k является точным делителем r_k-2.

При помощи аналогичного рассуждения, но обращенного вперед, мы получаем, что если d является общим делителем m и n, так как по построению m = q₀ ∙ n + r₁, то r₁ = m - q_{0 ∙} n, где m = m₁ ∙ d, n=n₁ ∙ d. Следовательно, r₁ = m₁ ∙ d - (q₀ ∙ n₁) ∙ d = (m₁-(q_{0 ∙} n₁)) ∙ d. Значит, d является делителем r₁, что и требовалось доказать.

В книге X Евклид использует этот алгоритм для величин вообще, а не только для чисел, и приходит к выводу, что взаимное вычитание имеет конец, только если обе величины соизмеримы и, следовательно, могут быть выражены с помощью чисел. Другими словами, если они несоизмеримы, то взаимное вычитание можно производить бесконечно. Об этом говорится в предложениях 2 и 3 книги X. Несмотря на сделанные открытия, Евклиду не удалось полностью использовать потенциал этого метода так, как это сделали индийские и китайские математики.

Книга VII, предложение 17. Если число, умножая два числа, производит нечто, то возникающие из них будут иметь то же самое отношение, что и умножаемые [коммутативное свойство результата].

Книга VII, предложение 18. Если два числа, умножая некоторое число, производят нечто, то возникающие из них: будут иметь то же самое отношение, что и умножающие.