Мы ожидаем, что подобным же образом можно будет понять смысл импульса и энергии частицы на любом заданном этапе её истории, понять их как компоненты и не более как компоненты 4-вектора, существующего независимо от всякого выбора координат. Более того, связь такого «4-вектора энергии-импульса» с 4-вектором смещения 𝐴𝐵 не будет ни косвенной, ни далёкой. Разве может быть что-либо более последовательным и прямым, чем следующая цепочка рассуждений:
1) Берётся 4-вектор смещения 𝐴𝐵 с компонентами
𝑑𝑡
,
𝑑𝑥
,
𝑑𝑦
,
𝑑𝑧
(см. рис. 87).
Рис. 87. 4-вектор перемещения 𝐴𝐵, соединяющий события 𝐴 и 𝐵 на мировой линии частицы. Он изображён здесь для частного случая, когда 𝑦- и 𝑧- компоненты перемещения 𝑑𝑦 и 𝑑𝑧 одновременно равны нулю.
2) С помощью 4-вектора 𝐴𝐵 строится единичный касательный вектор путём деления его на интервал собственного времени
𝑑τ
=
√
(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑥)²-(𝑑𝑦)²-(𝑑𝑧)²
,
взятый между мировыми точками 𝐴 и 𝐵 компоненты этого касательного вектора
𝑑𝑡
𝑑τ
,
𝑑𝑥
𝑑τ
,
𝑑𝑦
𝑑τ
,
𝑑𝑧
𝑑τ
изображены на рис. 88.
Рис. 88. Единичный касательный вектор к мировой линии частицы, полученный делением 4-вектора перемещения 𝐴𝐵 (рис. 87) на инвариантный интервал собственного времени 𝑑τ. Временная и пространственная компоненты единичного вектора касательной равны
𝑑𝑡
𝑑τ =
𝑑𝑡
√(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑥)² =
1
√1-(𝑑𝑥/𝑑𝑡)² =
1
√1-β² = = 1 = 1 = √1-th²θ
⎛
⎜
⎝ ch²θ - sh²θ
⎞
⎟
⎠
½
ch²θ ch²θ =
ch θ
√ch²θ-sh²θ = ch θ
и
𝑑𝑥
𝑑τ =
𝑑𝑥
√(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑥)² =
𝑑𝑡/𝑑𝑥
√1-(𝑑𝑥/𝑑𝑡)² =
β
√1-β² = = th θ = th θ = √1-th²θ
⎛
⎜
⎝ ch²θ - sh²θ
⎞
⎟
⎠
½
ch²θ ch²θ =
th θ ch θ
√ch²θ-sh²θ = sh θ .
(В приведённом здесь частном случае полная пространственная компонента перемещения 𝑑𝑟 равна 𝑥-компоненте перемещения 𝑑𝑥. В более общем случае пространственная часть перемещения имеет вид 𝑑𝑟=√(𝑑𝑥)²+(𝑑𝑦)²+(𝑑𝑧)², и тогда она даёт пространственную компоненту единичного вектора касательной, равную
𝑑𝑟
𝑑τ =
β
√1-β² sh θ .
⎞
⎟
⎠
3) 4-вектор энергии-импульса получается при умножении этого единичного вектора на постоянную 𝑚; его компоненты равны
𝐸
=
𝑝
𝑡
=
𝑚
𝑑𝑡
𝑑τ
,
𝑝
𝑥
=
𝑚
𝑑 𝑥
𝑑τ
,
𝑝
𝑦
=
𝑚
𝑑 𝑦
𝑑τ
,
𝑝
𝑧
=
𝑚
𝑑 𝑧
𝑑τ
(77)
(см. рис. 89).
Рис. 89. 4-вектор энергии-импульса, полученный при умножении единичного вектора касательной (рис. 88) на постоянную массу 𝑚 частицы. Временная компонента его называется «релятивистской энергией» и обозначается через 𝐸.
Подробности хода этих рассуждений и различные формы записи пространственных и временных компонент всех этих трёх 4-векторов приведены на рисунках. Не может быть никакого сомнения в том, что 4-вектор (𝑑𝑡, 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) остаётся 4-вектором после деления его на величину 𝑑τ и умножения на величину 𝑚, которые обе остаются одинаковыми во всех системах отсчёта.
