Поразительная судьба женщины, у которой он снимал комнату на Троицкой улице. Француженка по отцу, она родилась в Петербурге. Рано осталась без родителей, воспитывалась у дяди. В шестнадцать лет вышла замуж по любви за молодого инженера. Через два года он умер от чахотки. Остался маленький сын, через год разделивший участь отца. Екатерина Владимировна стойко перенесла свалившиеся на нее несчастья, не ожесточилась, не очерствела сердцем. Она переехала в Москву, стремясь забыть угрюмую столицу, где видела столько смертей близких. Жила она уроками французского языка и сдачей комнат студентам. Так судьба свела ее с Чаплыгиным.
В августе следующего года у них родилась дочь, ее нарекли Ольгой.
Материальное положение молодой семьи отнюдь не блестяще. Приват-доцентура дает весьма скромный заработок. Чаплыгин ищет более подходящие места. Он принимает должность преподавателя математики и механики в Константиновском межевом институте и в Московском техническом училище. Затем назначается штатным преподавателем теоретической механики Инженерного училища министерства путей сообщения и одновременно оставляет приват-доцентуру в университете. Через несколько месяцев Чаплыгин прощается и с Екатерининским институтом.
Близилась защита магистерской диссертации «О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости». Она состоялась 20 марта 1898 года. Оппонентами выступали Н. Е. Жуковский и Б. К. Млодзеевский. В рецензии на исследование ученика Николай Егорович, выделяя наиболее близкое ему, в частности, писал: «Сочинение С. А. Чаплыгина представляет вполне самостоятельный труд, который вместе с его прежними работами по тому же вопросу является в литературе единственными исследованиями по геометрической интерпретации движения твердого тела в жидкости. Можно сказать, что картина этого сложного движения теперь рисуется в воображении только благодаря исследованиям С. А. Чаплыгина».
Степень магистра прикладной математики была присуждена Сергею Алексеевичу единогласно.
Научные интересы Чаплыгина в эти годы строго очерчены, ясны и логичны, как все, чем он занимается в жизни.
Мстислав Всеволодович Келдыш так впоследствии напишет о пути Сергея Алексеевича: «Будучи молодым ученым, он входит в круг интересов, занимавших в то время университетских математиков и механиков, и его первые работы относятся к области классической механики. В то время университетская наука была весьма мало связана с техническими приложениями. Интересы механиков были направлены на решение вопросов, связанных с астрономией и физикой, и частично на... решение ряда трудных задач классической механики, возникших значительно раньше и не находивших долгое время решения. Многие из этих задач представляли большой принципиальный интерес...
В тот первый период своей деятельности Чаплыгин целиком направляет свои силы на задачи классической механики. Работы его в этой области показали, что он является блестящим ученым, владеющим самыми сложными аналитическими методами науки, извлекающим из них ясные геометрические закономерности движения».
Итак, классическая механика — два направления поиска: движение тел при наличии так называемых неголономных связей и движение твердого тела вокруг неподвижной точки.
Неголономные связи — важный раздел механики, изучающий движение тела в определенных ограничениях, налагаемых не только на положение тела, но и на его скорость. Такие связи нельзя свести к геометрическим условиям и проинтегрировать их уравнения. Приведем пример: шар катится без скольжения по шероховатой жесткой поверхности. Для шара это неголономная связь, так как в точке его соприкосновения с поверхностью скорость равна нулю и уравнение связи не интегрируется. Подобных примеров движения много: скажем, велосипед, направляющие ролики счетных приборов, планиметров, интеграторов...
Для математика тут огромное поле деятельности. Ведь исследовать подобное движение крайне трудно — к нему неприменимы дифференциальные уравнения Лагранжа в обычном виде. А вот финский математик Линделеф не учел это обстоятельство и незаконно применил в задаче о катании тела по плоскости общее уравнение Лагранжа. Чаплыгин обратил внимание на ошибку и выполнил свое исследование.
Впервые он вывел общие уравнения движения неголономных систем, опередив иностранных ученых, позднее выполнивших то же самое. Уравнения Чаплыгина представляют собой обобщенные уравнения Лагранжа, но с добавочными членами.
Эта и другие работы Сергея Алексеевича в той же области неопровержимо подтвердили: в России появился новый выдающийся математик.
Классические исследования Чаплыгина по теории движения тела в жидкости и по движению тела с неинтегрируемыми связями коллеги очень скоро оценили по достоинству. Они были по инициативе Н. Е. Жуковского представлены в Академию наук на соискание премии графа Д. А. Толстого и удостоены Большой почетной золотой медали.
