Если в качестве исходной фигуры берется правильный тетраэдр или правильная четырехугольная пирамида, результатом подобных трехмерных преобразований будет «пирамида Серпинского». Квадратная версия «салфетки Серпинского» («дырки» в ней, соответственно, тоже квадратные) называется «ковром Серпинского», а его трехмерная реализация известна как «губка Менгера» (Menger sponge). Другим примером линейных (или, как их еще называют, геометрических) фракталов является так называемое фрактальное дерево, образующееся путем последовательного раздвоения вертикального ствола и получающихся на каждом шаге диагональных «ветвей». Среди культурных артефактов классическим образцом геометрического фрактала является матрешка.
Нелинейные (алгебраические) фракталы представляют собой визуализацию рекуррентных вычислений значений нелинейной комплексной функции, например,
Наиболее известными нелинейными фракталами являются множества Жюлиа и знаменитое множество Мандельброта. Отличительной чертой алгебраических фракталов оказывается их удивительная зрелищность. В зависимости от начальных условий (z0) и величины константы (с) получаются невероятно разнообразные и красивые конфигурации. Странным образом «внутри» простой математической формулы «спрятан» целый космос эстетически привлекательных форм, завораживающих красочной гармонией упорядоченного «хаоса».
Отдельный класс нелинейных фракталов составляют так называемые странные аттракторы, т. е. фазовые портреты некоторых фрактально-«хаотических» траекторий.
Наконец, в пространстве города присутствуют фракталы особого рода, которые некоторые исследователи называют «культурными фракталами» (Paul Downton)[120], а мы предпочитаем термин «концептуальные фракталы»[121]. Напомним, что концептуальные фракталы могут не обладать пространственным самоподобием, но их паттерны самоподобны в рамках некоторой культурной концепции высокого уровня обобщения: философемы, мифологемы, идеологемы (cм. раздел «Типы фракталов в городской культуре» первой главы). В таком случае, городские скульптуры естественным образом оказываются фрактальными образованиями внутри урбанистического фрактала и, в свою очередь, транслируют фрактальные смыслы городской цивилизации и культуры конкретного города и конкретной страны. Ярчайший пример – статуи вождей в городских публичных пространствах прокоммунистических или авторитарных режимов. Фигура политического лидера на постаменте приобретает фрактально-символический характер и служит в качестве фрактального паттерна определенной доктрины.
Практически одновременно с математической концепцией фрактальности (сер. 1980-х годов) возникло цифровое фрактальное искусство[122], фрактальные формы стали все чаще опознаваться и сознательно использоваться в архитектуре (см. раздел «Исследования по фрактальной урбанистике» первой главы). В начале 2000-х гг. в публичных пространствах культуры появились фрактальные скульптуры, что носит, на наш взгляд, знаковый характер, поскольку именно скульптуры – благодаря своей топологической «мобильности» – наиболее отчетливо маркируют идеологический, мифологический и символический универсум коллективного сознания не только культурной эпохи в целом, но и соответствующего исторического момента. Синхронический комплекс городской скульптуры, памятников и монументов в целом, как и отдельные большие и малые пластические формы городской среды, составляет особый фрактальный уровень локальной/национальной культуры и ее истории. И поскольку скульптуры – очень динамичные элементы среды, чувствительные к парадигматическим сдвигам в культуре, их появление/исчезновение/перемещение в культурных пространствах всегда семиотически насыщенно и фиксирует те или иные (новые или актуализированные старые) константы культурной парадигмы. При этом «белый шум» текущих идеологических преференций, коммерческих проектов и семантической инерции повседневной культуры задает сильную стохастичность/алеаторность этой фрактальной модели.
Особенность скульптуры, обладающей пространственной фрактальностью, заключается в парадоксальном соединении принципиально незавершенной фрактальной структуры, рекурсивного процесса саморазвертывания, каковым является любой фрактал, и законченной, «статичной» формы художественного объекта, каковым является скульптура. Фрактальная скульптура – словно стоп-кадр, «схвативший» бесконечное фрактальное движение. В математике такое «промежуточное» состояние называется пред-фракталом. С художественной точки зрения, фрактальная скульптура – это фрактальные ритмы, «застывшие» в камне и стали.
