- Легенда легендой, - добавил капитан, - а это замечательное свойство прямоугольного треугольника обнаружил великий математик древней Греции Пифагор. И записал он его так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе любого прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.
ДУМАТЬ НАДО, ДУМАТЬ!
3 нуляля
- Внимание! - сказал капитан. - Фрегат идёт вдоль берега Точных Доказательств. Здесь надо вести судно особенно осторожно: повсюду подстерегают подводные камни. Один неумелый манёвр - и можно утонуть в море Ошибок. Вот герб берега Точных Доказательств.
Капитан протянул нам памятный значок. На одной его стороне было написано: "Меньше слов - больше смысла", а на обороте - "Требуйте точных и красивых доказательств!"
Да, это вам не бухта Аксиома, где ничего нельзя доказывать! Здесь не только можно, но и нужно. Но капитан сказал, чтобы я не слишком торопился отделаться от аксиомы. Потому что без аксиомы ничегошеньки не докажешь. Ни одной теоремы!
- Чего-чего? - переспросил я.
- Те-о-ре-мы! - повторил капитан. - Это слово греческое и означает в переводе "обдумывание". Для того чтобы доказать теорему, надо много думать.
Я сказал, что, наверное, очень трудно доказывать теоремы. Но капитан ответил, что совсем не трудно, если всё время думать логически, то есть рассуждать правильно, последовательно, так, чтобы одна мысль вытекала из другой, а не противоречила ей. Уметь логически рассуждать важно каждому, а математику - особенно.
Я попросил капитана доказать какую-нибудь теорему. Он нарисовал два треугольника, оба прямоугольные, - я это понял сразу, потому что не успел ещё забыть легенду про маму-Гипотенузу и братьев-Катетов. Капитан велел запомнить, что точки, где сходятся стороны треугольника, называются вершинами и что вершин у треугольника три. Он их обозначил латинскими буквами. У одного треугольника - большими (А, В. С), у второго - маленькими (а, в, с).
- Эти треугольники замечательны тем, - продолжал капитан, - что как меньшие, так и большие катеты у обоих одинаковой длины. Вот и надо доказать, что при этом треугольники равны между собой.
Я чуть было не брякнул, что это очень просто, но капитан остановил меня.
- Первым делом, - сказал он, - надо определить, что такое равные треугольники. Ведь прежде чем что-либо доказывать, надо знать, что собираешься доказать. Так вот. Если ты возьмёшь два треугольника, наложишь их аккуратно один на другой и они в точности совпадут, то такие треугольники и называются равными.
Я тут же решил вырезать один из нарисованных треугольников, а потом наложить его на другой, но капитан сказал, что это будет не доказательство теоремы, а кит знает что.
Во-первых, нам может только показаться, что треугольники совпали, потому что зрение наше несовершенно. Но если даже треугольники совпадут в точности, мы докажем лишь то, что равны только эти треугольники. А теорема должна быть справедливой не для двух, а для всех прямоугольных треугольников, у которых катеты соответственно равны.
- А для этого, друзья, - закончил капитан, - нужно уметь рассуждать. Думать надо, думать!
Ничего не поделаешь, придётся немножко и подумать.
- Начнём доказательство со слов: "Допустим, что...", - сказал капитан. - Допустим, что я мысленно (обратите внимание - мысленно!) накладываю вершину прямого угла одного треугольника на вершину прямого угла второго - точку А на точку а. А потом осторожно накладываю друг на друга два равных катета. Как вы думаете, совпадут концы этих катетов или нет? Совпадут точки В и в?
- Совпадут, - ответил Пи, - ведь катеты эти одинаковой длины.
- Верно. Теперь допустим, что эти катеты крепко-накрепко склеились. Наложатся друг на друга два других катета? Думайте, думайте!
- Ясно, наложатся, - ответил я. - Углы между катетами у обоих треугольников прямые - значит, одинаковые, по 90 градусов, длины катетов тоже одинаковые.
- Ты делаешь успехи, Нулик! - похвалил капитан. - Итак, логика помогла нам выяснить, что катеты обоих треугольников накрепко склеились. Остаётся установить, совпали гипотенузы или нет.
Мы с Пи понимали, что гипотенузы должны совпасть, но капитан потребовал, чтобы мы это до-ка-за-ли! Да, нелёгкая это работа - из болота тащить бегемота! Хорошо, капитан дал наводящий вопрос: все ли вершины треугольника совпали?
- Все! - сказал Пи.
- Значит, - сообразил я, - совпали и гипотенузы ВС и вс!
Капитан прищурился:
- Ой ли? А из чего это следует?
Из чего? Ах я чудак этакий! Да из аксиомы! Аксиомы о том, что через две точки можно провести только одну прямую!
- Логично, - согласился капитан. - Теперь теорема доказана: треугольники в точности наложились один на другой. Стало быть, они равны между собой.
Ура! Да здравствуют аксиомы!!
ПОСТОЯННЫЕ ОТНОШЕНИЯ
4 нуляля
Какие чудные имена бывают у островов! Как вам, например, нравится такое - "Остров Отношений"? Мы с коком чуть со смеху не лопнули, когда услышали, что так называется нынешняя наша стоянка. Добро бы ещё это был Остров Добрых Отношений или, на худой конец, Остров Плохих Отношений... А то просто отношений - и всё тут!
