Будучи учеником Риччи, Галилей попал под косвенное влияние подхода Архимеда к математике. Возможно, какое-то время он признавал представления Аристотеля о том, что математика не может описывать природу в силу своей конечности и что более глубокое познание мира возможно при помощи категории качества, а не количества.
Принцип Архимеда, согласно которому на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу вытолкнутой им жидкости, вдохновил его на первое изобретение — маленькие гидростатические весы, позволявшие измерять удельный вес тел.
Первое, очень короткое, эссе Галилея так и называлось — «Маленькие гидростатические весы». Оно было опубликовано в 1586 году и объясняло принцип действия устройства. В нем Галилей утверждал, что вдохновился эпизодом, когда Архимед раскрывает обман с короной царя Гиерона. Галилей совсем не был уверен, что классическое объяснение было истинным:
По мнению Галилея, Архимеду для решения задачи понадобилось бы его изобретение — гидростатические весы. Они состояли из двух плечей: на одно подвешивается предмет, который надо взвесить, а на другое ставятся гирьки до момента уравновешивания (см. рисунок). Затем предмет погружается в воду, и его масса вычисляется заново. К разнице этих двух масс применяется принцип Архимеда. Поскольку плотность воды составляет 1 г/см³, надо просто использовать формулу плотности р = m/V.
Риччи, как и его учитель, считал математику практической дисциплиной, которая могла использоваться во множестве различных областей, от военного дела до архитектуры. Такая точка зрения очень отличалась от пифагорейских и платоновских представлений, по которым реальность заключалась главным образом в числах. По мнению пифагорейцев, числа определяли структуру природных явлений, и изучение математических соотношений являлось путем познания мира.
Галилей изучал математику в тесной связи с практикой и наблюдениями. Свое восхищение Архимедом он выразил в том числе в таких строках: «...тем, кто... читал и изучал искуснейшие изобретения столь божественного человека, ... слишком ясно, насколько все остальные ученые были ниже Архимеда...»
Благодаря использованию телескопа для человечества расширились границы Вселенной. Галилею удалось совершить невероятные открытия, а их распространение было одним из важнейших событий эпохи. Вселенная, которая была видна в его телескоп, совершенно не соответствовала традиционным представлениям о ней. Таким образом, Галилей убедился в истинности гелиоцентрической теории, хотя приверженность этому революционному учению и привела его годы спустя на суд Инквизиции.
В августе 1609 года Галилей вместе с многочисленными представителями венецианской знати поднялся на башню Сан Марко, чтобы продемонстрировать им полезное для защиты города изобретение. Оно показывало объекты на большом расстоянии и увеличивало их размеры, позволяя заметить вражеские корабли, когда они были еще достаточно далеко, и заранее приготовиться к их встрече.
Галилей справедливо предполагал, что использование прибора принесет ему деньги и почести, но очень скоро он нашел еще одно применение телескопа, которое могло удовлетворить его интеллектуальные амбиции, — изучение звезд. Это открытие лежало в начале нового витка развития науки, зародившейся еще в Египте и Древней Греции и на тот момент существовавшей тысячи лет. До настоящего времени телескопы предоставляют нам важнейшие сведения, которые расширяют знания о Вселенной.
До их появления астрономы пользовались приборами для вычисления (но не для наблюдения), такими как армиллярные сферы и астролябии, с помощью которых определяли положение звезд на небосклоне. Также исследователи использовали таблицы, по которым предсказывали положение планет в определенный момент года (и таким образом составляли звездные карты) или такие явления, как затмения.
