В этой игре платеж подающего – вероятность того, что он забьет гол. Его шансы на выигрыш при правильной блокировке выше при ударе вправо, чем влево, шансы забить без блокировки также выше вправо, чем влево. Конечно, его выигрыш остается лучше при ударе влево и отсутствии блокировки, чем при ударе вправо и наличии блокировки. В остальном удар вправо будет представлять собой чистую стратегию равновесия, которая будет непреднамеренно использоваться постоянно.
Лучшая стратегия для подающего – произвольно чередовать удары вправо и влево в разных пропорциях, в большинстве случаев забивая вправо, иногда разбавляя их офсайдами, чтобы вратарь не расслаблялся. В то же время вратарь должен отражать его, большую часть времени блокируя удары вправо, а иногда и удары влево.
Мы можем вычислить точные пропорции на основании вероятности, с которой футболист забьет для каждой из четырех возможных комбинаций со стороны подающего/стороны вратаря. Однако во время исследований были получены данные о сотнях ударов в играх Европейской лиги, на основании которых составлена следующая таблица процентного соотношения шанса забить гол (которая фактически является платежной матрицей):
Из этих цифр видно, что лучшая стратегия для подающего – забивать в правый угол 59,7 %, а в левый – 40,3 %. Эта смешанная стратегия дает общий шанс успеха на уровне 74,0 % независимо от действий вратаря.
Любое отступление от этого соотношения позволяет вратарю улучшать свои результаты, выбрав чистую стратегию прыжков только вправо или влево. Например, если бы подающий забивал вправо 65 % ударов, а не 59,7 %, у него бы только 72,6 % ударов по воротам, при этом вратарь использовал бы свою стратегию прыжков только вправо.
Ключ к смешанному равновесию Нэша в том, что в равновесии каждый возможный ход имеет равный платеж.
Используя равновесную стратегию при любом ударе, нападающий рассчитывает на 74,0 % вероятности попасть в цель независимо от того, в какую сторону была подача. Используя равновесную стратегию, на любом ударе подающий рассчитывает на то, что вероятность забить гол составляет 74,0 % независимо от того, с какой стороны он бьет. Если бы он рассчитывал на большую вероятность для любой из сторон, вратарь чаще отвечал бы, прыгал на эту сторону, снижая коэффициент успешности для этой стороны. Это свойство равных платежей является полезным способом для понимания равновесных стратегий без математики. Просто посмотрите на пропорции, где каждый вариант приводит к одному и тому же среднему платежу.
Могут ли игроки реально проводить такой численный анализ? Нет, но в среднем среди многих игроков можно найти людей, которые замечательно справляются с поиском оптимальных смешанных стратегий на интуитивном уровне. Исследования реальных показателей футбольных подач показывают, что подающие в целом бьют справа почти полностью с правильной частотой.
Итак, неужели это все? Мы просто просчитываем платежи, определяем соотношение смешанной стратегии, и пусть игроки подбрасывают свои монеты? К счастью, нет. В реальных играх взаимодействие в теории игр является лишь основой для взаимодействия, ориентированного на человека, называемого yomi.
Yomi
Я позаимствовал термин
YOMI – это интеллектуальная игра прогнозирования, хитрости и стремления переиграть соперника, чтобы получить выигрыш, выходящий за рамки математики теории игр.
Yomi работает, потому что реальный мир более неоднозначный, чем математика. В сухом математическом анализе исчисляется каждый платеж, а каждая стратегия четко отличается от других. Но настоящие игры не такие. Их исход невозможно определить количественно, стратегии нельзя аккуратно разместить в ячейки, а у игроков нет полной информации или доступа к генераторам случайных чисел.
