Сечение потока, с которого все линии тока нормальны (т. е. перпендикулярны), называется живым сечением.
Чрезвычайно важное значение имеет в гидравлике понятие о гидравлическом радиусе
Для напорного потока с круглым живым сечением, диаметром d и радиусом r0, гидравлический радиус выражается
При выводе (2) учли
Расход потока – это такое количество жидкости, которое проходит через живое сечение за единицу времени.
Для потока, состоящего из элементарных струек, расход:
где dQ = dω – расход элементарного потока;
U– скорость жидкости в данном сечении.
Q = uw.
В зависимости от характера изменения поля скоростей различают следующие виды установившегося движения:
1) равномерное, когда основные характеристики потока – форма и площадь живого сечения, средняя скорость потока, в том числе по длине, глубине потока (если движение безнапорное), – постоянны, не изменяются; кроме того, по всей длине потока вдоль линии тока местные скорости одинаковы, а ускорений вовсе нет;
2) неравномерное, когда ни один из перечисленных для равномерного движения факторов не выполняется, в том числе и условие параллельности линий токов.
Существует плавно изменяющееся движение, которое все же считают неравномерным движением; при таком движении предполагают, что линии тока примерно параллельны, и все остальные изменения происходят плавно. Поэтому, когда направление движения и ось ОХ сонаправлены, то пренебрегают некоторыми величинами
Ux ≈ U; Uy = Uz = 0. (1)
Уравнение неразрывности (1) для плавно изменяющегося движения имеет вид:
аналогично для остальных направлений.
Поэтому такого рода движение называют равномерным прямолинейным;
3) если движение нестационарное или неустановившееся, когда местные скорости с течением времени изменяются, то в таком движении различают следующие разновидности: быстро изменяющееся движение, медленно изменяющееся движение, или, как часто его называют, квазистационарное.
Давление разделяют в зависимости от количества координат в описывающих его уравнениях, на: пространственное, когда движение трехмерное; плоское, когда движение двухмерное, т. е. Uх, Uy или Uz равна нулю; одномерное, когда движение зависит только от одной из координат.
В заключение отметим следующее уравнение неразрывности для струйки, при условии, что жидкость несжимаемая, т. е. ρ= const, для потока это уравнение имеет вид:
Q = υ1ω1= υ
где υiωi – скорость и площадь одного и того же сечения с номером i.
Уравнение (3) называют уравнением неразрывности в гидравлической форме.
Уравнение Эйлера служит одним из фундаментальных в гидравлике, наряду с уравнением Бернулли и некоторыми другими.
Изучение гидравлики как таковой практически начинается с уравнения Эйлера, которое служит исходным пунктом для выхода на другие выражения.
Попробуем вывести это уравнение. Пусть имеем бесконечно малый параллелепипед с гранями dxdydz в невязкой жидкости с плотностью ρ. Он заполнен жидкостью и движется как составная часть потока. Какие силы действуют на выделенный объект? Это силы массы и силы поверхностных давлений, которые действуют на dV = dxdydz со стороны жидкости, в которонаходится выделенный dV. Как силы массы пропорциональны массе, так и поверхностные силы пропорциональны площадям, на которые оказывается давление. Эти силы направлены к граням вовнутрь по нормали. Определим математическое выражение этих сил.
Назовем, как и при получении уравнения неразрывности, грани параллелепипеда:
1, 2 – перпендикулярные к оси ОХ и параллельные оси ОY;
3, 4 – перпендикулярные к оси OY и параллельные оси ОХ;
5, 6 – перпендикулярные к оси OZ и параллельные оси ОХ.
Теперь нужно определить, какая сила приложена к центру масс параллелепипеда.
Сила, приложенная к центру массы параллелепипеда, которая и заставляет эту жидкость совершать движение, есть сумма найденных сил, то есть
Получили уравнение движения параллелепипеда с dV1 по направлению оси Х.
Делим (1) на массу ρdxdydz:
Полученная система уравнений (2) есть искомое уравнение движения невязкой жидкости – уравнение Эйлера.
К трем уравнениям (2) добавляются еще два уравнения, поскольку неизвестных пять, и решается система из пяти уравнений с пятью неизвестными: одним из двух дополнительных уравнений является уравнение неразрывности. Еще одним уравнением является уравнение состояния. Например, для несжимаемой жидкости уравнением состояния может быть условие ρ = const.
Уравнение состояния должно быть выбрано таким образом, чтобы оно содержало хотя бы одно из пяти неизвестных.
Уравнение Эйлера для разных состояний имеет разные формы записи. Поскольку само уравнение получено для общего случая, то рассмотрим несколько случаев:
1) движение неустановившееся.
2) жидкость в покое. Следовательно, Ux = Uy = Uz = 0.
