Польский ежемесячный научно-популярный журнал для детей.
В одной из школ занятия происходили только три раза в неделю — в понедельник, среду и пятницу. Причём в эти дни могло быть не более € уроков. Недельное расписание предусматривало 6 уроков математики, 4 урока физики и по 2 урока химии, истории и физвоспитания.
Кроме того, преподаватели отдельных предметов поставили директору ряд дополнительных условий. Составление расписания уроков стало для директора школы очень трудным заданием.
«1. Математик требует, чтобы его уроки не были последними и только раз были первыми.
2. Физик также пожелал, чтобы его уроки не были последними, раз в неделю он хочет иметь два первых урока, но не в среду; в пятницу, наоборот, может иметь только два первых урока.
3. Историк может преподавать в понедельник (кроме двух последних уроков) или среду (третий и четвертый уроки). Дополнительно он желает, чтобы после его урока не было урока физвоспитания.
4. Химик хочет иметь свободную пятницу, кроме того, желает, чтобы в тот день, когда будут его уроки, не было уроков физики.
5. Уроки физвоспитания ведутся на стадионе и поэтому должны быть последними. В пятницу преподаватель физвоспитания занят.
6. Ежедневно должно быть по два урока одного и того же предмета, следующих один за другим.
7. Два свободных урока (в течение недели может быть 3х6 = 18 уроков, из них согласно программе бывает 6 + 4 + 2 + 2 + 2 = 16 уроков) должны быть первыми в понедельник или последними в пятницу».
Составление такого расписания — это настоящая головоломка. Представьте себя на месте директора школы. Как бы вы решили эту трудную задачу? Большую помощь вам мог бы оказать… математик[1].
Я должен признаться, что данный пример с расписанием уроков заимствован из книги по математике (поэтому перечисленные выше требования помещены в кавычки), в которой рассматриваются, между прочим, вопросы математической логики. Говоря упрощенно, логика — наука о правильном мышлении. Мысли и поступки логичны, если они разумны, последовательны, закономерны.
Как наука, логика известна уже несколько веков, но лишь в XIX веке математики ввели в неё свои математические методы, стали жонглировать понятиями и суждениями подобно тому. как в прошлом оперировали числами. Возникло даже новое понятие — исчисление предложений. Это звучит немного странно. Мы привыкли к сложению, делению, умножению чисел. А можно ли данные действия выполнять на предложениях?
Может ли быть дробь, состоящая из предложений? Как можно привести несколько предложений к общему знаменателю?
Уверен, что вы могли бы задать мне тысячу вопросов. Но давайте договоримся. Ребята, я постараюсь всё по очереди объяснить вам, а вы внимательно читайте и постарайтесь понять прочитанное.
Во-первых, учтите, что математика интересуют только явно истинные или явно ложные предложения. Например, предложение «съел бы пирожное с кремом» к ним не относится, зато такими предложениями будут, — «Маша надела красные бусы» или «Вова хороший ученик».
Во-вторых, для математика безразлично, каково содержание предложения, поэтому он обозначает их буквами. Например, он записывает «
В-третьих, математик пользуется некоторыми определёнными правилами построения сложных предложений из простых. Из этих основных правил он выводит более сложные. К числу основных правил относятся:
— не «не п» равняется «п». Например, если неправда, что не идёт дождь, значит дождь идёт;
— «п» или «не п» всегда истинно. Действительно: дождь или идёт или не идёт, одно из двух;
— «п» и «не п «никогда не истинно. Дождь не может одновременно идти и не идти;
— если неправда, что «п» или «б», то правда, что «не п» и «не б». Если Вова не умеет играть в шахматы или шашки, то значит, что он не умеет играть в шахматы и не умеет играть в шашки.
Если подобные предложения математик запишет по-своему, не математик вообще не прочитает их. Посмотри как такая запись выглядит:
Приведенные символы обозначают понятия, которые определённым образом взаимно зависят друг от друга.
Выше было указано, что математики жонглируют понятиями, но не думайте, что они могут делать это произвольно. Действия с натуральными числами подчиняются определённым законам. Так же обстоит дело с исчислениями предложений 3 + 5 = 8 независимо от того, что обозначают данные числа (яблоки, карандаши, автомобили или они вообще не связаны ни с какими конкретными предметами). Аналогично этому вместо символов, принятых в исчислениях предложений, можно подставить различные понятия. В результате получим точный ответ, как можно решить головоломку, записанную такими предложениями, т. е. как нужно составить расписание уроков в школе, расписание движения автобусов автостанции и т. д.
