Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре полностью

Другое важное понятие — гомеоморфизм — также уже встречалось в рассуждениях о неразличимости чашки и бублика. Именно в этой неразличимости и дело: гомеоморфизм — это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность). Чашку легко непрерывным преобразованием превратить в бублик, а апельсин — в Солнце. При этом преобразовании сохраняются важнейшие топологические инварианты, такие как число k. Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными.

Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что каждая односвязная трехмерная поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Обратите особое внимание на то, что «трехмерная поверхность» может размещаться в пространстве, чья размерность как минимум 4! Трехмерная сфера — это поверхность четырехмерного шара (привычная нам двухмерная сфера — поверхность трехмерного шара).

-53-

Рис. 20. Дискретный код трехмерной поверхности Терстона

Изображенные так называемые ячейки Терстона образуют своеобразную геометрическую головоломку. Если выбрать определенные коды Терстона: 6-8-7, 1-17-9 или 3-20-21, то каждый из них будет подсказывать, в какую геометрическую фигуру сложится трехмерная поверхность.

-54-

Доказывать гипотезу Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трехмерном многообразии М и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» все. Это означает, что исходное многообразие М можно представить как набор сферических пространственных форм, соединенных друг с другом трубками. Подсчет фундаментальной группы показывает, что М диффеоморфно связанной сумме набора пространственных форм. Таким образом, М является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

К теме гипотезы Пуанкаре примыкает важная для кибернетиков область математики — вычислительная топология. Вычислительные и распознавательные задачи, оказывается, есть и в этой абстрактной науке. С одной из таких задач связана предпринятая в 1974 году очень интересная попытка решения проблемы Пуанкаре в ее алгоритмической версии.

Каждая трехмерная поверхность задается некоторым (не будем вдаваться в подробности) дискретным кодом — конечным набором символов. Одна и та же поверхность имеет бесконечное число различных кодировок. Естественный вопрос: существует ли алгоритм, определяющийся по заданному кодовому слову, задает ли это слово трехмерную сферу в новой алгоритмической проблеме Пуанкаре? Именно эту задачу исследовал ряд видных российских математиков в 1974 году, предположив, что определенное свойство кода (оно было названо «волной») дает критерий «сферичности». Однако им удалось только доказать, что наличие «волны» гарантирует: перед нами сфера. Доказать же, что в любом коде, задающем сферу, имеется «волна», никак не получалось. Тогда авторы сделали весьма оригинальный по тем временам ход: провели масштабный компьютерный эксперимент. Была написана программа для машины БЭСМ-6, которая случайным образом генерировала коды, задающие трехмерную сферу, и проверяла наличие в них «волны». В эксперименте, потребовавшем весьма длительного счета, был проверен миллион таких случайных

-55-

представлений сферы — и во всех обнаружилась «волна»! Это был довольно веский аргумент в пользу корректности предложенного алгоритма. Но авторы, будучи серьезными математиками воздерживались от поспешных заявлений. И не напрасно: спустя пару лет был обнаружен контрпример…