Мы привели один из самых простых примеров, и поэтому нам удалось изобразить процесс решения в двухплоскостной схеме. Но подавляющее большинство производственных задач может быть решено только в том случае, если мы произведем не одно, а целый ряд как бы надстраивающихся друг над другом замещений. Тогда мы получим уже не две, а три, четыре, пять или даже еще большее число плоскостей в схеме процесса решения задачи и должны будем говорить о слоях решения, каждый из которых включает две связанные между собой плоскости [1960 а*]. Характерными примерами процессов такого вида являются производственные задачи, решаемые с помощью средств геометрии. Важно специально подчеркнуть, что на определенных этапах решения этих задач знаковые формы, замещающие исходные объекты (такими знаковыми формами могут быть, к примеру, чертежи), рассматриваются как объекты особого рода (функциональные объекты в системе слоя) и к ним применяется деятельность, внешне напоминающая содержательные преобразования самих объектов. Но по сути дела она остается знаковой деятельностью, применяемой к знакам. Непонимание этого момента приводило ко многим затруднениям и ошибкам как в истории науки, так и в обучении (подробнее эти вопросы на материале геометрического чертежа рассматриваются в [Разин, 1963]).
Процессы решения учебных задач, заданных определенным текстом условий, рассматриваются нами не как замещения объективных ситуаций знаковыми системами, а как переходы от текста условий к выражениям тех знаковых систем, в которых эти задачи могут быть решены, и еще дальше — как переходы от этих знаковых систем к объективным ситуациям [1962 с, II, IV–V]. Нам важно подчеркнуть, что и в этом случае процесс решения задачи выступает минимум как двухплоскостное движение: одну плоскость образует текст условий, а другую — привлекаемая для решения знаковая система. (Для упрощения рассуждения мы выше просто не касались тех движений в знаковых системах, которые обязательно входят в каждый процесс решения.)
Одна и та же задача может решаться с помощью разных знаковых систем и, следовательно посредством разных деятельностей. И это относится не только к «формальным» движениям внутри знаковых систем; с изменением системы меняется и характер той деятельности, посредством которой осуществляется переход от условий задачи к знаковым выражениям: для одних систем она будет простой и компактной, для других — сложной, многократно опосредованной. Это различие в деятельности перехода определяется отношением знаковой системы к задачам, ее, если можно так сказать, «возможностям» в отношении этих задач. С этой точки зрения, как выяснилось, можно говорить о «совершенстве» и «несовершенстве» знаковых систем, об их «адекватности» и «неадекватности» задачам. Покажем это на нескольких примерах.
Арифметические задачи могут решаться с помощью нескольких различных знаковых систем, и соответствующие деятельности образуют то, что называют алгебраическим способом решения, арифметическим способом или способом предметного моделирования [1962 с, II–V]. Сравним два первых способа между собой.
