Начнем с алгебраического. В случае простых задач переход от их условий к выражениям знаковой системы представляет собой последовательное обозначение (или отображение) элементов текста условий в знаках системы. К примеру, текст условий задачи «На дереве сидели птички |1, потом прилетели еще |2 3 |3, и стало |4 9 |5» отображается в пятиэлементном выражении «Х+3=9». С точки зрения последовательности отображения и усваиваемого в самом начале обучения «смысла» знаков «+» и «—» структура алгебраического выражения «изоморфна» структуре текста (мы изобразили последнюю вертикальными линиями членения с индексами). Точнее, наверное, нужно сказать, что построение выражения в алгебраической системе предполагает очень простую («линейную») деятельность «чтения» (то есть расчленения и понимания) текста. Знаки «+» и «—» в алгебраических выражениях (благодаря тому же изоморфному отношению) изображают предметные преобразования совокупностей, описываемые в условиях задачи, или отношения частей к целому и целого к части, непосредственно следующие из текста условий. (Они не являются знаками операций, ибо никаких арифметических преобразований в этой знаковой системе и не нужно делать; в этом отношении они принципиально отличаются от арифметических знаков «+» и «—», имеющих чисто оперативный смысл.) После того, как выражение алгебраической системы получено, оно преобразуется (по правилам системы) к виду, который может быть отождествлен с каким-либо выражением арифметической системы. Например, алгебраическое выражение «Х+3=9» преобразуется к виду «9–3=Х», а это последнее замещается арифметическим выражением «9–3=». После перехода в арифметическую систему производятся собственно арифметические операции — замещение суммы или разности одним числом в соответствии со знаком полученного выражения: в данном примере разность 9–3 замещается числом 6. Наглядно-символически весь процесс может быть изображен в трехплоскостной схеме вида:
Таким образом, и здесь, в учебных задачах, процесс решения складывается не просто из двух плоскостей, а предполагает по меньшей мере два слоя движений (на самом деле их еще больше, так как мы пока совсем не учитывали правил, по которым строятся действия внутри самих знаковых систем).
При использовании арифметического способа решения последовательно-поэлементное отображение текста условий задачи в выражение арифметической знаковой системы в большинстве случаев невозможно. Если, например, мы имеем тот же текст условий задачи «На дереве сидели птички, потом прилетели еще 3, и стало 9», то арифметическим выражением, соответствующим ему, будет «9–3=»; как видим, текст условий и выражение различаются в последовательности элементов структур, а также в «смысле» предметных преобразований, описываемых условиями, и арифметических операций. Из существующих десяти вариантов простых арифметических задач (взятых по «смыслу» предметных преобразований и порядку задания в условиях известных и неизвестных значений) только два допускают отображение в арифметических выражениях, «изоморфных» тексту условий. Вообще можно сказать, что арифметические выражения в принципе не являются описаниями или отображениями текста условий задач (и их предметного смысла), а знаки арифметических операций не являются и не должны быть обозначениями или отображениями предметных преобразований совокупностей.
Нам здесь особенно важно подчеркнуть следующее. Если мы возьмем переход от текста условий к выражению арифметической системы как уже совершившийся, то должны будем сказать, что здесь одна система, взятая как целое, «соответствует» другой системе, тоже взятой как целое, а между их элементами, если судить по продукту, нет никаких «соответствий». Именно это обстоятельство создает массу затруднений для детей, приученных переходить из одной системы к другой на основании поэлементных соответствий.
Чтобы облегчить им «работу», существует только один прием: в процесс решения задачи включается еще одна знаковая система, которая ставится как бы между текстом условий задачи и выражениями арифметической системы; это — знаковая система, моделирующая отношение «целое — части».
