Математика и искусство полностью

Примеры такого содружества есть. В исследовательском отделе американской фирмы "Боинг" выполнен рисунок на ЭВМ. Рисунок математически сконструирован по стандартным дюреровским пропорциям человека и ряду топологических правил, определяющих работу суставов и обеспечивающих непрерывность контура человека при его перемещениях. Таким образом, этот "машинный человечек" может двигаться, а сама ЭВМ может создать целый мультфильм. Однако эта увлекательная тема — искусство и ЭВМ — выходит за рамки нашей книги.

В первом наскальном изображении первый первобытный художник столкнулся с непростой математической задачей: отобразить трехмерный оригинал на двумерную плоскость "картины". Сама природа помогла ему в решении этой задачи, ибо, как заметил Леонардо да Винчи, "первая картина состояла из одной-единственной линии, которая окружала тень человека, отброшенную солнцем на стену".

Почему художник не довольствовался трехмерной скульптурой, а стремился к двумерному изображению оригинала, понять нетрудно: плоская поверхность пещеры или стены храма, глиняной таблички или папируса, пергамена или бумаги была удобным носителем графической информации. В последних случаях такую поверхность можно было попросту свернуть в рулон и унести с собой.

Люди издревле научились отображать всевозможные объекты окружающего их трехмерного мира на двумерную плоскость картины. Однако по мере развития такого искусства отображения все чаще возникал вопрос: насколько точно и насколько убедительно эти плоские образы отражают реальные трехмерные прообразы? На эти вопросы призвана была ответить наука, и прежде всего геометрия. И она по мере сил отвечала на них, хотя решение столь простой на первый взгляд задачи растянулось на тысячелетия.

В этой главе мы рассмотрим с точки зрения геометрии, какие основные возможности имеются в решении задачи отображения трехмерного пространства на двумерную плоскость. А в главе 22 мы увидим, как эти возможности реализовы-вались в искусстве живописи.

Раздел геометрии, в котором изучаются различные методы изображения пространственных форм на плоскости, называется начертательной геометрией. В основе начертательной геометрии лежит метод проекций, сущность которого такова. В пространстве выбирают фиксированную точку S — центр проектирования и плоскость проекций К (картинную плоскость), не проходящую через S. Для получения изображения — проекции[32] — объекта на плоскость К через центр проекций S и каждую точку А, В, С,... объекта проводят проектирующие лучи до пересечения с плоскостью К. Совокупность точек пересечения проектирующих лучей с картинной плоскостью и даст изображение (проекцию) объекта, которое называют центральной проекцией.

Представим теперь, что центр проектирования S уходит в бесконечность. Тогда проектирующие лучи становятся параллельными между собой. Считая центр проектирования расположенным в бесконечно удаленной точке S_∞ , мы, таким образом, приходим к важному частному случаю центрального проектирования — параллельному проектированию. Наконец, важным частным случаем параллельных проекций являются ортогональные проекции, когда проектирующие лучи ортогональны К, т. е. образуют прямые углы с плоскостью проекций К.

При построении проекций некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции. Такими неизменными свойствами — инвариантами — при центральном проектировании обладают:

1) точки (проекция точки — точка);

2) прямые;

3) свойство точки принадлежать прямой.

При параллельном проектировании помимо того сохраняются следующие свойства:

4) параллельность прямых;

5) отношение отрезков прямых;

6) метрические свойства плоских фигур, параллельных картинной плоскости (плоские фигуры, параллельные картинной плоскости, проектируются на эту плоскость без искажений).

Обратим внимание на то, что свойство параллельности прямых при центральном проектировании не сохраняется.

Важнейшие виды проекций: центральные (а), параллельные (б) и ортогональные (в)