Хотя бы только за его красоту и за ныне скорее забытую, но вполне заслуженную славу, которой он пользовался, я хочу здесь еще сказать о декартовом методе касательных; он, впрочем, имеет также отношение к природе уравнений, о которой мы должны будем затем сделать еще дальнейшее замечание. Декарт излагает этот самостоятельный метод, в котором требуемое линейное определение также находится из той же производной функции, в своей и в других отношениях оказавшейся столь плодотворной геометрии (Oeuvres compl. ed. Cousin, tom. V, liv. II, p. 357 ss.), уча в ней о великой основе природы уравнений и их геометрического построения, а тем самым об очень расширенном анализе, о распространении его на геометрию вообще. Проблема получает у него форму задачи – провести прямые линии перпендикулярно к любому месту кривой, чем определяется подкасательная, и т. д. Мы вполне понимаем то чувство удовлетворения по поводу своего открытия, касавшегося предмета всеобщего научного интереса того времени и являвшегося всецело геометрическим, тем самым поднимавшегося так высоко над вышеупомянутыми методами голых правил, которые давались его соперникам, – то чувство, которое он выразил там в следующих словах: «J’ose dire, que c’est ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je sache, mais même que j’aie jamais désiré de savoir en géometrie». («Я осмеливаюсь сказать, что это – самая полезная и самая всеобщая геометрическая задача не только из всех тех, которые я знаю, но также и из всех тех, которые я когда-либо желал знать в геометрии».) Для решения этой задачи он кладет в основание аналитическое уравнение прямоугольного треугольника, образуемого ординатой той точки кривой, к которой должна быть перпендикулярной требуемая в задаче прямая линия, затем ею же самой, нормальной, и, в-третьих, поднормальною, т. е. той частью оси, которая отрезывается ординатою и нормальною. Из известного уравнения кривой в уравнение означенного треугольника подставляется затем значение ординаты или абсциссы; таким образом, получается уравнение второй степени (и Декарт показывает, как и те кривые, уравнения которых содержат высшие степени, также сводятся к уравнению второй степени), в котором встречается лишь одна из переменных величин, и притом в квадрате и в первой степени, – квадратное уравнение, которое сначала выступает как так называемое нечистое уравнение. Затем Декарт соображает, что если мы представим себе рассматриваемую точку кривой точкой пересечения последней и круга, то этот круг пересечет кривую еще в другой точке, и тогда получается для двух тем самым возникающих и неодинаковых x два уравнения с одинаковыми константами и одинаковой формы или же одно уравнение с неодинаковыми значениями x. Но уравнение делается одним уравнением лишь для одного треугольника, в котором гипотенуза перпендикулярна к кривой, т. е. оказывается нормальной, что представляют себе таким образом, что заставляют совпасть обе точки пересечения кривой кругом, и, следовательно, последний становится касающимся кривой. Но тем самым отпадает также и то обстоятельство, что корни x или y квадратного уравнения неодинаковы. В квадратном же уравнении с двумя одинаковыми корнями коэффициент члена, содержащего неизвестные в первой степени, вдвое больше лишь одного корня; это дает нам уравнение, посредством которого мы находим искомые определения. Этот ход решения должен быть признан гениальным приемом истинно аналитической головы, с которым не может сравниться принимаемая всецело ассерторически пропорциональность подкасательной и ординаты якобы бесконечно малым (так называемым) приращениям абсциссы и ординаты.
