Полученное этим путем конечное уравнение, в котором коэффициент второго члена квадратного уравнения равен удвоенному корню или неизвестному, есть то же самое уравнение, которое находят посредством приема, применяемого дифференциальным исчислением. Уравнение x2-ax-b=0 после его дифференцирования дает новое уравнение 2x-a = 0; а уравнение x3-px-q=0 дает 3x2-p=0. Но при этом напрашивается замечание, что отнюдь не само собою разумеется, что такое производное уравнение также и правильно. При уравнении с двумя переменными величинами, которые от того, что они переменные, все-таки не теряют характера неизвестных величин, получается, как мы указали выше, лишь некоторое отношение, по тому указанному простому основанию, что замещение самих степеней функциями возвышения в степень изменяет значение обоих членов уравнения, и само по себе еще неизвестно, имеет ли еще место между ними уравнение при таком измененном значении. Уравнение dy/dx=P ничего другого вовсе и не выражает, кроме того, что P есть некоторое отношение, и не надо приписывать dy/dx никакого другого реального смысла. Но об этом отношении = P также еще неизвестно, какому другому отношению оно равно; лишь такое уравнение, пропорциональность, впервые сообщает ему численное значение и смысл. Точно так же как (что было указано выше) то значение, которое называли приложением, берется извне, эмпирически, так и в тех полученных путем дифференцирования уравнениях, о которых идет речь, для того чтобы знать, верны ли еще полученные уравнения, должно быть известно из какого-то другого источника, имеют ли они одинаковые корни. Но на это обстоятельство в учебниках не дается определенных и ясных указаний; оно устраняется тем, что уравнение с одним неизвестным (x), приведенное к нулю, тотчас же приравнивается к другому неизвестному (y), откуда затем при дифференцировании получается, конечно, которое есть только некоторое отношение. Исчисление функций, конечно, dy/dx должно иметь дело с функциями возвышения в степень, а дифференциальное исчисленное с дифференциалами, но из этого само по себе отнюдь еще не следует, что величины, дифференциалы или функции возвышения в степень которых мы берем, сами также должны быть лишь функциями других величин. И кроме того, в теоретической части, там, где даются указания, как должны быть выведены дифференциалы, еще нет и мысли о том, что величины, оперировать с которыми согласно такому способу их вывода она учит, сами должны быть функциями других величин.
Относительно отбрасывания констант при дифференцировании можно еще обратить внимание читателя на то, что это отбрасывание имеет здесь тот смысл, что константа оказывается безразличной для определения корней в случае их равенства, каковое определение исчерпывается коэффициентом второго члена уравнения. Так, в приведенном примере Декарта константа есть квадрат самого корня, следовательно, последний может быть определен как из константы, так и из коэффициентов, поскольку вообще как она, так и коэффициенты суть функции корней уравнения. В обычном изложении опущение так называемых констант (связанных с прочими членами лишь посредством знаков + и – ) достигается простым механизмом приема, состоящего в том, что для нахождения дифференциала сложного выражения приращение сообщается лишь переменным величинам и сформированное благодаря этому выражение вычитается из первоначального. Смысл констант и их отбрасывания, вопрос о том, в какой мере они сами суть функции и нужны ли они или не нужны со стороны этого определения, не подвергается обсуждению.
С отбрасыванием констант находится в связи одно замечание, которое можно сделать относительно названий дифференцирования и интегрирования, замечание, сходное с тем, которое мы сделали раньше относительно наименований «конечное» и «бесконечное выражение»[66], а именно что в их определении содержится скорее противоположное тому, что выражается этими названиями. Дифференцирование означает полагание разностей; но дифференцирование, наоборот, уменьшает число измерений уравнения, и в результате отбрасывания константы устраняется один из моментов определенности; как мы уже заметили, корни переменной величины приравниваются, их разность, следовательно, устраняется. Напротив, при интегрировании следует снова присоединить константу; уравнение благодаря этому несомненно интегрируется, но в том смысле, что ранее устраненная разность корней восстанавливается, положенное равным снова дифференцируется. Обычный способ выражения способствует тому, чтобы оставить в тени существенную природу предмета и все сводить к подчиненной и даже чуждой главной стороне дела точке зрения отчасти бесконечно малой разности, приращения и т. п., отчасти же голой разности вообще между данной и производной функцией, не обозначая их специфического, т. е. качественного различия.
