Здесь мы должны указать на удивительный прием Ньютона (Princ. math. phil. nat. Lib. II. Lemma II, после propos. VII) – на изобретенную им остроумную уловку для устранения арифметически неправильного отбрасывания произведений бесконечно малых разностей или их высших разрядов при нахождении дифференциалов. Он находит дифференциал произведения, из которого легко затем вывести дифференциалы частного, степени и т. п., следующим образом. Произведение, если уменьшить х и у, каждый порознь на половину его бесконечной разности, переходит в ху – xdy/2 – ydx/2 + dxdy/4; а если увеличить х и у ровно настолько же, то произведение переходит в ху + xdy/2 + ydx/2 + dxdy/4. Если от этого второго произведения отнять первое, то получается разность ydx + xdy, которая есть избыток приращения на целые dx и dy, так как именно этим приращением отличаются оба произведения; следовательно, это и есть дифференциал ху. – Как видим, при этом способе сам собой отпадает член [ряда], составляющий главное затруднение, – произведение обеих бесконечных разностей dxdy. Одпако при всем уважении к имени Ньютона следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие неправильно; неправильно, что (x + dx/2) (y + dy/2) – (x – dx/2) (y – dy/2) =
= (x + dx) (y + dy) – ху. Только потребность обосновать ввиду его важности исчисление флюксий могла заставить такого математика, как Ньютон, обмануть себя подобным способом доказательства.
Другие формы, которыми пользуется Ньютон при выведении дифференциала, связаны с конкретными, относящимися к движению значениями элементов и их степеней. – Применение формы ряда, вообще характерное для его метода, сразу наводит на мысль, что всегда в наших силах путем прибавления все новых членов взять величину с той степенью точности, которая нам нужна, и что отброшенные величины относительно незначительны, что вообще результат есть лишь приближение; и Ньютон здесь также удовлетворился этим доводом, подобно тому как он в своем методе решения уравнений высших степеней путем приближения отбрасывает высшие степени, получающиеся при подстановке в данное уравнение каждого найденного еще неточного значения, на том простом основании, что они малы; см. Lagrange. Equations numeriques, p. 125.
Ошибка, которую допустил Ньютон, решая задачу путем отбрасывания существенных высших степеней, ошибка, которая дала повод противникам торжествовать победу своего метода над его методом и истинный источник которой указывает Лагранж в своем новейшем исследовании ее (Théorie des. fonct. analyt. 3me p. Ch. III), доказывает, что пользование этим орудием еще страдало формализмом и неуверенностью. Лагранж показывает, что Ньютон допустил эту ошибку потому, что он пренебрег членом ряда, содержащим важную для данной задачи степень. Ньютон придерживался указанного выше формального, поверхностного принципа отбрасывания членов [ряда] ввиду их относительной малости. А именно известно, что в механике членам ряда, в котором разлагается функция какого-нибудь движения, придается определенное значение, так что первый член или первая функция соотносится с моментом скорости, вторая – с силой ускорения, а третья – с сопротивлением сил. Поэтому члены ряда должны рассматриваться здесь не только как части некоторой суммы, но как качественные моменты некоторого понятия как целого. Благодаря этому отбрасывание остальных членов, принадлежащих к дурно бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно отличный от отбрасывания их на основании их относительной малости[40]. Решение задачи, данное Ньютоном, оказалось ошибочным не потому, что в нем не принимаются во внимание члены ряда лишь как части некоторой суммы, а потому, что не принимается во внимание член, содержащий качественное определение, которое здесь важнее всего.
