Из этих двух функций производная, или, как она была определена выше, функция возведения в степень, есть здесь, в интегральном исчислении, данная по отношению к первоначальной функции, которая еще должна быть найдена из нее путем интегрирования. Однако первая дана не непосредственно, равно как не дано само по себе, какую часть или какое определение математического предмета дóлжно рассматривать как производную функцию, дабы, приводя ее к первоначальной функции, найти другую часть или другое определение [предмета], установить величину которого требует задача. Обычный метод, сразу же представляющий, как мы сказали, некоторые части предмета как бесконечно малые в форме производных функций, определимых из первоначально данного уравнения предмета вообще посредством дифференцирования (как, [например], для выпрямления кривой – бесконечно малые абсциссы и ординаты), принимает за таковые те части или определения, которые можно привести в такую связь с предметом задачи (в нашем примере с дугой), также представляемым как бесконечно малый, которая установлена элементарной математикой, благодаря чему, если известны упомянутые части, определяется и та часть, величину которой требуется найти; так, для выпрямления кривой приводятся в связь в виде уравнения прямоугольного треугольника указанные выше три бесконечно малых, для [ее] квадратуры приводятся в связь некоторого произведения ордината и бесконечно малая абсцисса, причем поверхность вообще принимается арифметически за произведение линий. Переход от этих так называемых элементов поверхности, дуги и т. д. к величине самих поверхностей, дуги и т. д. считается в этом случае лишь восхождением от бесконечного выражения к конечному или к сумме бесконечно многих элементов, из которых, согласно предположению, состоит искомая величина.
Можно поэтому сказать, не вникая в суть, что интегральное исчисление – это лишь обратная, но вообще более трудная задача дифференциального исчисления. Дело обстоит скорее так, что реальный интерес интегрального исчисления направлен исключительно на взаимное отношение первоначальной и производной функции в конкретных предметах.
Лагранж и в этой части исчисления не соглашался отделаться от трудности проблем легким способом, основанным на указанных выше прямых допущениях. Для разъяснения сущности дела будет полезно привести здесь также и некоторые подробности его метода на немногих примерах. Этот метод ставит себе задачей как раз особо доказать, что между отдельными определениями некоторого математического целого, например некоторой кривой, имеется отношение первоначальной функции к производной. Но в силу природы самого отношения, приводящего в связь в некотором математическом предмете кривые с прямыми линиями, линейные измерения и функции с поверхностно-плоскостными измерениями и их функцией и т. д., приводящего, следовательно, в связь качественно разное, это нельзя выполнить прямым путем, и определение, таким образом, можно понимать лишь как середину между чем-то бóльшим и чем-то меньшим. Благодаря этому, правда, само собой вновь появляется форма приращения с плюсом и минусом, и бодрое «développons» [ «развернем в ряд»] снова очутилось на своем месте; но мы уже говорили о том, что приращения имеют здесь лишь арифметическое значение, значение чего-то конечного. Из анализа (Entwicklung) того условия, что определимая величина больше легко определяемого предела и меньше другого предела, выводится, например, что функция ординаты есть первая производная функция к функции плоскости.
