Но мы не будем столь строги; мы будем признательны непрерывности, которая, если даже
Нужно ли напоминать, как Эрмит получил поразительные результаты от введения непрерывных переменных в теорию чисел? Таким образом, подверглась вторжению область целого числа в собственном смысле, и это вторжение водворило порядок в царстве хаоса.
Всем этим мы обязаны непрерывности, а следовательно, физической природе.
Ряд Фурье является ценным инструментом, постоянно употребляемым в анализе. Благодаря именно этому средству оказалось возможным изображать прерывные функции. Но Фурье изобрел его, имея целью решение одной физической проблемы, касающейся распространения тепла. Если бы не была естественным образом поставлена эта проблема, никогда бы не решились отдать должное прерывности и долго бы еще смотрели на непрерывные функции как на единственные истинные функции.
Благодаря этому понятие функции значительно расширилось и получило у некоторых аналитиков-логиков непредвиденное развитие.
Эти аналитики пустились в области, где царствует наиболее чистая абстракция, и удалились от реального мира настолько, насколько это возможно. Однако повод к этому им был доставлен физической проблемой.
Вслед за рядом Фурье в область анализа вошли другие аналогичные ряды. Они вошли в ту же дверь: они были придуманы в прикладных целях.
Теория уравнений второго порядка с частными производными имела подобную же историю. Она развивалась главным образом через физику и для нее. Она может принимать множество форм, ибо для определения неизвестной функции недостаточно одного подобного уравнения: необходимо добавить дополнительные так называемые граничные условия; отсюда вытекает много разных проблем. Если бы аналитики предались своим естественным стремлениям, они знали бы из них только одну — ту самую, которая рассмотрена, Софьей Ковалевской в ее знаменитом мемуаре[34]. Все множество других проблем осталось бы неизвестным.
Каждая физическая теория — теория электричества, теория теплоты — представляет нам эти уравнения под новым видом. Итак, можно сказать, что без них мы не знали бы уравнений с частными производными.
Бесполезно было бы множить примеры. Сказанного достаточно, чтобы вывести такое заключение: когда физики требуют от нас решения проблемы, они не бремя возлагают на нас, но, напротив, заслуживают нашей благодарности.
Но это не все. Физика не только дает нам повод к решению проблем; она еще помогает нам найти к этому средства. Это происходит двояким путем.
Во-первых, она дает нам предчувствие решения; во-вторых, подсказывает нам ход рассуждений.
Выше я уже говорил об уравнении Лапласа, которое встречается во множестве весьма далеких друг от друга физических теорий. Его же находим мы в геометрии (в теории конформного преобразования) и в чистом анализе (в теории мнимых величин).
Таким образом, аналитик, изучающий функции комплексных переменных, кроме обычного своего орудия — геометрического представления, — находит ряд физических образов, которые он может использовать с таким же успехом.
Благодаря этим образам он в состоянии сразу видеть то, что было бы лишь постепенно обнаружено путем чистой дедукции. Так, он соединяет разрозненные элементы решения и путем некоторого рода интуиции догадывается о том, что будет доказано лишь впоследствии.
Догадка предшествует доказательству! Нужно ли указывать, что именно так были сделаны все важные открытия?
Сколько истин позволяют нам предчувствовать физические аналогии, оправдать которые путем строгого рассуждения мы были бы не в состоянии!
Вот пример. Математическая физика употребляет множество разложений в ряды. Никто не сомневается в сходимости этих рядов, несмотря на отсутствие математической достоверности. Будущие исследователи одержат здесь несомненные победы.
С другой стороны, физика дает нам не только решения; в известной мере она дает нам и метод рассуждения. Достаточно напомнить, как Клейн воспользовался свойствами электрических токов при исследовании одного вопроса, относящегося к поверхностям Римана. Правда, рассуждения этого рода не строги в том смысле, в каком термин «строгость» употребляется аналитиками.
В связи с этим можно поставить вопрос: как может физик удовлетворяться доказательством, которое не достаточно строго с точки зрения аналитика?
По-видимому, не может быть двух степеней строгости; либо строгость налицо, либо ее нет; там, где ее нет, не может быть и умозаключения. Мы лучше поймем этот кажущийся парадокс, вспомнив те условия, при которых число находит применение к явлениям природы.
В чем, вообще говоря, источник затруднений, с которыми встречаются требования точности? На них почти всегда натыкаются в то время, когда хотят доказать, что такая-то величина стремится к такому-то пределу или что известная функция непрерывна, или что она имеет производную.
