Внимание гениального математика Эйлера привлекла однажды: своеобразная задача, которую он высказал в такой форме:
«В Кенигсберге есть остров, называемый Кнейпгоф. Река, омывающая его, делится на два рукава (см. рис.), через которые перекинуто семь мостов:
„Можно ли обойти все эти мосты не побывав ни на одном из них более раза?“
„Некоторое утверждают, что это возможно. Другие, напротив, находят такое требование неосуществимым“».
Каково же ваше мнение, читатель?
Задаче о Кенигсбергских мостах Эйлер посвятил целое математическое исследование, которое было в 1736 г. представлено в Петербургскую Академию наук. Работа эта начинается следующими строками, определяющими, к какой области математики относятся подобные вопросы:
«Кроме той отрасли геометрии, которая рассматривает величины и способы измерения и которая тщательно разрабатывалась еще в древности, Лейбниц первый упомянул в другой отрасли, названной им „геометрией положения“. Эта отрасль Геометрии занимается только порядком расположения частей фигуры друг относительно друга, отвлекаясь от их размеров». *)
«Недавно мне пришлось слышать об одной задаче, относящейся к геометрии положения, и я решил изложить здесь, в виде примера найденный мною способ решения этой задачи».
Эйлер имеет в виду задачу о Кенигсбергских мостах.
Рассуждений великого математика мы здесь излагать не станем, а ограничимся сейчас краткими соображениями, подтверждающими его окончательный вывод. Он состоит в том, что требуемый задачей обход невыполним.
Для наглядности заменим рисунок расположения речных рукавов упрощенной схемой (см. рис.). В предложенной задаче размер острова и длина мостов никакого значения не имеет (такова, мы знаем, характерная особенность всех топологических задач: они не зависят от относительных размеров частей фигуры).
Поэтому мы можем местности
Покажем, что фигуру нашу начертить одним росчерком нельзя. В самом деле, в каждую из узловых точек
Попытайтесь нарисовать одним росчерком каждую из следующих семи фигур. Помните требования: начертить все линии заданной фигуры, не отрывая пера от бумаги, не делая никаких лишних штрихов и не проводя дважды ни одной линии.
Попытки вычерчивания непрерывной линией фигур 3–9 приводят к неодинаковым результатам. Некоторые фигуры удается вычерчивать, с какой бы точки ни начинать вести первую линию. Другие вычерчиваются одним росчерком в тех лишь случаях, когда начинают с определенных точек. Наконец, третьи вовсе не поддаются вычерчиванию одной непрерывной линией. Чем обусловлено подобное различие? Существуют ли признаки, позволяющие установить заранее, поддается ли данная фигура вырисовыванию одним росчерком и, если поддается, то с какой точки следует начинать черчение?
Теория дает на эти вопросы исчерпывающие ответы, и мы сейчас познакомимся с некоторыми положениями этой теории.
Условимся называть «четными» те точки фигуры, в которых сходится четное число линий, — в отличие от точек «нечетных», в которых встречается нечетное число линий.
