Отличная квантовая механика полностью

Задача 4.17. Электрон помещен в гармонический потенциал и приготовлен в состоянии, в котором его спин и кинетические степени свободы находятся в запутанном состоянии

|Ψ⟩ = 𝒩(|↑⟩|α⟩ + |↓⟩|−α⟩),

где |α⟩ — когерентное состояние.

a) Найдите нормирующий множитель 𝒩.

b) Измеряется число вибрационных квантов n. Для каждого n найдите вероятность соответствующего результата и направление спина после измерения.

c) Измеряется проекция спина на вектор Найдите вероятность каждого возможного результата и волновую функцию электрона после измерении в координатном базисе.

Задача 4.18. Выполните упр. 4.74, a), 4.75 и 4.76 с использованием шрёдингеровой эволюции спинового состояния в матричном виде, не обращаясь к геометрии блоховского вектора.

Задача 4.19. В эксперименте со спиновым эхо вместо стандартной возбуждающей последовательности импульсов применяется последовательность:

Вычислите амплитуду полученного эхо-сигнала в сравнении с тем, который получается под действием стандартной последовательности.

Задача 4.20. В эксперименте со спектроскопией Рамзея вместо стандартной последовательности возбуждающих импульсов применяется последовательность:

Вычислите населенность состояний |↑⟩ и |↓⟩ в зависимости от θ и Δt, где Δ есть отстройка радиочастотного поля, а t — продолжительность эксперимента.

Во многих практических случаях у нас может не быть полной информации о состоянии квантовой системы. Наши знания могут иметь вид статистического ансамбля, или смеси: скажем, нам известно, что наша система находится в состоянии |ψ₁⟩ с вероятностью p₁, в состоянии |ψ₂⟩ с вероятностью p₂ и т. д., с Σ_ip_i = 1. Все состояния |ψ_i⟩ являются нормированными, но необязательно должны быть ортогональными; их число также не обязано равняться размерности гильбертова пространства.

Ситуации подобного ограниченного знания возникают очень часто. Один такой случай — это смешанное состояние, возникающее, когда мы теряем какую-то часть запутанного состояния, что обсуждалось в подразд. 2.2.4. Другой пример — если мы располагаем большим набором частиц в различных состояниях и нас интересует значение наблюдаемого, которое усредняется по всем этим частицам, как в случае неоднородно расширенных ансамблей при магнитном резонансе (подразд. 4.7.4).

Первое, что нам нужно сделать, — это придумать удобное математическое представление для имеющейся у нас информации об ансамбле. В принципе, перечисление всех возможных состояний и их вероятностей тоже годилось бы, но оно слишком громоздко и неудобно в работе. Существует куда более краткое описание, достаточное для всех практических целей. Это оператор

который называется оператором плотности (density operator) ансамбля. Матрица оператора плотности в любом ортонормальном базисе {|𝑣_j⟩} называется матрицей плотности[123].

Упражнение 5.1. Для следующих ансамблей в рамках гильбертова пространства поляризационных состояний единичного фотона напишите операторы плотности в нотации Дирака и матрицы плотности в каноническом базисе:

a) |H⟩;

b) ψ_H |H⟩ + ψ_V|V⟩;

c) |+45º⟩ с вероятностью 1/2, |–45º⟩ с вероятностью 1/2;

d) с вероятностью 1/2, |H⟩ с вероятностью 1/4, |V⟩ с вероятностью 1/4.

Упражнение 5.2. Пусть некоторый ансамбль измеряется в базисе Покажите, что вероятность обнаружения конкретного элемента базиса |𝑣_m⟩ равна соответствующему диагональному элементу матрицы плотности в этом базисе:

Подсказка: возможно, вам будет полезно ознакомиться с условными вероятностями (см. разд. Б.2).

Физические свойства квантового состояния проявляются через измерения. Упр. 5.2 показывает, что оператор плотности можно использовать для вычисления вероятности любого результата измерений с тем же успехом и с той же точностью, что и полное словесное описание статистического ансамбля. Таким образом, оператор плотности содержит исчерпывающую информацию об измеряемых физических свойствах ансамбля. Именно это я имел в виду ранее, когда говорил, что оператора плотности «достаточно для всех практических целей».

Уравнение (5.2) представляет собой расширение правила Борна, которое мы изучали в контексте постулата об измерениях, на статистические ансамбли.

Упражнение 5.3. Поляризация фотона описывается матрицей плотности Поляризация измеряется в:

a) каноническом,

b) диагональном,

c) круговом базисах.

Выразите вероятность каждого результата измерения через элементы матрицы в каноническом базисе.

Упражнение 5.4. Покажите, что оператор плотности ансамбля ненормированных состояний {|ψ_i⟩} задается как