Отличная квантовая механика полностью

Сигнал, полученный в качестве отклика на единичный импульс, называется спадом свободной индукции (free induction decay). Название связано с тем, что этот сигнал со временем быстро теряет силу в результате действия различных механизмов демпфирования и декогеренции. Главный механизм, вызывающий затухание, — это некоторая неоднородность постоянного магнитного поля в разных точках пространства. Она вызывает неоднородное уширение (inhomogeneous broadening) резонанса: каждый спин имеет свою отстройку Δ в определенном диапазоне Δ₀, известном как неоднородная ширина. Блоховские векторы с разными отстройками будут прецессировать вокруг оси z с разными угловыми скоростями и разойдутся по всему экватору сферы Блоха за время порядка (рис. 4.11, a2). Тогда поля, генерируемые разными спинами, приобретут различные фазы и скомпенсируют друг друга.

Упражнение 4.75. Ансамбль спинов неоднородно уширен, так что его отстройки распределены следующим образом:

В условиях упр. 4.74 вычислите средний вектор магнитного момента спина в этом ансамбле в зависимости от времени t > 0 во вращающемся базисе.

Подсказка: воспользуйтесь упр. Г.9, c).

Ответ:

Горизонтальная черта над означает, что после квантового усреднения выполняется еще статистическое усреднение по ансамблю. Обратите также внимание, что среднее направление спина во вращающемся базисе постоянно указывает вдоль оси y; в стационарном базисе это соответствует прецессии с частотой ω, согласно упр. 4.65.

Неоднородное уширение часто является главным ограничивающим фактором для времени спада свободной индукции. В этом качестве оно не позволяет измерить временны́е постоянные, связанные с другими механизмами деградации спинового состояния — декогеренцией и термализацией, — известными под общим названием однородного дефазирования (homogeneous dephasing; также употребляется термин relaxation — релаксация). Но в таких приложениях, как медицинская томография (отступление 4.7), нам интересны как раз эти последние временны́е постоянные, поскольку именно они характеризуют для нас вещество образца.

К счастью, от эффекта неоднородного уширения можно избавиться при помощи красивой методики, известной как спиновое эхо. После окончания спада свободной индукции можно послать дополнительный импульс площадью π, чтобы перевернуть все блоховские векторы вокруг оси x. Как видно на рис. 4.11, это инвертирует угловые положения всех блоховских векторов по отношению к среднему по ансамблю. В результате расхождение спинов сменится на схождение: хотя каждый отдельный спин будет продолжать эволюционировать с той же скоростью, что и прежде, его движение от среднего превратится в движение к среднему. Спины воссоединятся в едином направлении в момент времени t = 2t₀, порождая при этом сильное электромагнитное поле — эхо-импульс.

Отступление 4.7. Магнитно-резонансная томография

Магнитно-резонансная томография основывается на регистрации спинового эхо-сигнала от протонов (ядер водорода), которые содержатся в молекулах воды внутри тела пациента. Данный сигнал анализируют, чтобы определить характерное время релаксации этих спинов, которое картируется в соответствии с положением источника сигнала, в результате чего получается трехмерное изображение. Поскольку время дефазирования зависит от вещества, в котором находятся излучающие спины, это трехмерное изображение отражает структуру органа и ткани, а также их патологии. Например, серое и белое вещества в человеческом мозге различаются по времени дефазирования примерно на 30 %.

Для реализации томографии на практике мы должны знать, из какой точки исходит каждый эхо-сигнал. Чтобы этого добиться, постоянному полю придают градиент, благодаря которому резонансная частота зависит от координаты. Таким способом добиваются того, что на радиочастотное поле конкретной частоты отзываются только те протоны, что локализованы в тонком слое тела пациента. Для создания трехмерного изображения используется сложная последовательность импульсов, для каждого из которых постоянное поле имеет градиент в другом направлении. Результатом этого становится спиновый эхо-сигнал со сложной временнóй зависимостью, которая несет в себе информацию о положении источников.