Предположим, что мы в состоянии выделить единичную частицу света — фотон — из поляризованной волны. Фотон — микроскопический объект, поэтому рассматривать его следует в рамках квантовой механики. Начнем с того, что определим связанное с ним гильбертово пространство. Для начала отметим, что горизонтально поляризованное состояние фотона, которое мы обозначим |H⟩, несовместимо с его вертикально поляризованным состоянием |V⟩: фотон |H⟩ невозможно обнаружить в состоянии |V⟩. То есть если мы приготовим горизонтально поляризованный фотон и прогоним его через поляризующий светоделитель (PBS, polarizing beam splitter) — оптический элемент, описанный в разд. В.2, то данный фотон во всех случаях будет проходить насквозь, а отражаться не будет никогда. Это означает, что состояния |H⟩ и |V⟩ ортогональны.
Мы постулируем, что световая волна, электрическое поле которой задано в виде функции координаты и времени [см. (В.2)]
(с действительными AH,V и ϕH,V), состоит из фотонов в состоянии[7]
Отступление 1.1. Открытие фотона
В 1900 г. Макс Планк объяснил экспериментально наблюдаемый спектр излучения абсолютно черного тела, введя понятие кванта света, который мы сегодня знаем как фотон[8]. Он обнаружил, что хорошее совпадение теории и эксперимента можно получить, если считать, что энергия фотона пропорциональна частоте ω световой волны. Коэффициент пропорциональности ℏ = 1,05457148 × 10−34 получил название постоянной Планка.
В 1905 г. Альберт Эйнштейн еще раз подтвердил обоснованность формулы Планка
E = ℏω,
воспользовавшись ей для количественного объяснения экспериментальных результатов по фотоэлектрическому эффекту (более подробно см. отступление 4.6[9]. Позже, в 1916 г., Эйнштейн сделал вывод, что, поскольку из классической электродинамики[10] известно, что электромагнитный волновой пакет, несущий энергию E, несет также импульс p = E/c, это же соотношение должно выполняться и для фотонов. По формуле Планка он нашел[11] p = ℏω/c. Выразив частоту волны через ее длину, он получил ω = 2πc/λ, а затем записал
p = 2πℏ/λ.
Артур Холли Комптон в 1923 г. использовал результаты Эйнштейна для теоретического объяснения собственных экспериментов, в которых он исследовал рассеяние рентгеновских лучей на свободных электронах[12]. Рассматривая фотоны рентгеновского излучения как частицы высоких энергий, он применил законы сохранения энергии и импульса к столкновению между фотоном и электроном, чтобы рассчитать энергию рассеянных фотонов в зависимости от угла рассеяния. Затем он соотнес эту энергию с длиной волны — и получил теоретическое описание для своих экспериментальных данных. Увиденное им превосходное совпадение тех и других стало служить наглядным доказательством существования фотона.
Интересно отметить, что термина «фотон» в то время не существовало. Его ввел в 1926 г. специалист по физической химии Гильберт Льюис[13].
Например, если AH = AV и ϕH = ϕV = 0, то соответствующая классическая волна выглядит как т. е. линейно поляризована под углом +45°. Соответственно, состояние (где делитель связан с нормированием) обозначает единичный фотон с линейной поляризацией под +45°. В табл. 1.1 вы можете увидеть еще несколько примеров[14].
Из этого следует, что состояния |H⟩ и |V⟩ образуют в гильбертовом пространстве поляризационных состояний фотона ортонормальный базис — т. е. пространство двумерно. Действительно, прежде всего эти состояния ортогональны и потому линейно независимы (упр. A.17). Кроме того, любая поляризованная классическая волна может быть записана в виде (1.1), так что любое поляризационное состояние фотона тоже может быть записано аналогично (1.2), т. е. как линейная комбинация состояний |H⟩ и |V⟩. Мы будем называть базис {|H⟩,|V⟩} каноническим базисом нашего гильбертова пространства.
Упражнение 1.3. Покажите, что:
a) поляризационные состояния ±45° образуют ортонормальный базис;
b) правое и левое круговые поляризационные состояния образуют ортонормальный базис.
Упражнение 1.4. Разложите |H⟩ и |V⟩ по базисам {|+⟩,|—⟩} и {|R⟩,|L⟩}.
Упражнение 1.5. Разложите |a⟩ = |+30°⟩ и |b⟩ = |–30°⟩ по базисам {|H⟩,|V⟩}, {|+⟩,|—⟩} и {|R⟩,|L⟩}. Найдите скалярное произведение ⟨a|b⟩ во всех трех базисах, используя операцию перемножения матриц. Одинаковые ли получились результаты?
Здесь есть сложный момент, который следует прояснить. Множество углов поляризации линейно поляризованных фотонов — континуум. Но в случае одномерного движения частицы, о котором говорилось в предыдущем разделе, множество позиционных состояний — также континуум. Почему же мы говорим, что одно из этих гильбертовых пространств имеет размерность два, а другое — бесконечность?
