Отличная квантовая механика полностью

|ψ(t)⟩ = (e^—iωt|H⟩⟨H|+e^iωt|V⟩⟨V|)|H⟩ = —e^iωt|H⟩.

Для начального состояния |ψ(0)⟩ = |+⟩:

Метод III. Пусть

Это выражение означает, что для каждой строки матрицы в левой и правой частях должно выполняться дифференциальное уравнение, поэтому мы можем переписать его в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Коэффициенты A и B могут быть получены из начальных условий. Если начальное состояние то имеем A = 1, B = 0, и таким образом

Если начальное состояние то мы находим, что и, следовательно,

что соответствует результату, полученному двумя остальными методами.

b) Метод I. Собственные состояния гамильтониана теперь равны |+⟩ и |—⟩, с соответствующими собственными значениями E_± = ±ℏω. Начальное состояние |H⟩ раскладывается согласно и эволюционирует в соответствии с

Начальное состояние |+⟩ есть собственное состояние гамильтониана:

Метод II. Оператор эволюции теперь равен

Эволюция во времени для фотона, исходно находившегося в состоянии |ψ(0)⟩ = |H⟩, такова:

Для начального состояния |ψ(0)⟩ = |+⟩:

|ψ(t)⟩ = (e^—iωt|+⟩⟨+|+e^iωt|-⟩⟨-|)|+⟩ = —e^iωt|+⟩.

Метод III. Чтобы применить матричный метод решения уравнения Шрёдингера, мы вновь разложим |ψ(t)⟩ согласно выражению (Р1.55). Матрица гамильтониана принимает вид:

Вот система уравнений для компонентов состояния:

Чтобы решить эту систему, мы можем, например, взять производную обеих частей первого уравнения и подставить из второго:

Решение данного уравнения имеет вид

ψ_H(t) = Ae^iωt + Be^—iωt

и, соответственно,

Для начального состояния |H⟩ имеют место равенства ψ_H(0) = 1 и ψ_V(0) = 0, следовательно, A = B = 1/2, и таким образом

Для начального состояния |+⟩ получаем следовательно, A = 0, а значит

Решение для упражнения 1.48. Преобразования поляризационных состояний полуволновыми пластинками под углами 0 и 45° задаются операторами —|H⟩⟨H|+|V⟩⟨V| и — (|+⟩⟨+|)+(|—⟩⟨—|) соответственно (см. упр. 1.24). Сравнивая их с операторами эволюции (Р1.54) и (Р1.56) соответственно, мы видим, что они становятся идентичными с точностью до глобального фазового множителя, когда ωt_HWP = π/2 в обоих случаях. Четвертьволновая пластинка соответствует эволюции за промежуток времени, равный половине промежутка времени для полуволновой пластинки, т. е. ωt_QWP = π/4.

Решение для упражнения 2.1. Выберем произвольное |a⟩ ∈ 𝕍_A и рассмотрим сумму Согласно (2.3a), находим Иными словами, прибавление к элементу 𝕍_A⊗ 𝕍_B не изменило этот элемент. Используя упр. A.2, b), получаем, что должен быть нулевым элементом 𝕍_A⊗ 𝕍_B.

Второе тождество доказывается аналогично.

Решение для упражнения 2.2. Для простоты рассмотрим гильбертово пространство поляризаций двух фотонов и покажем, что B = {|H⟩ ⊗|H⟩,|H⟩ ⊗|V⟩,|V⟩ ⊗|H⟩,|V⟩ ⊗|V⟩}, является его базисом.

Во-первых, докажем, что B — остов этого пространства. Рассмотрим произвольный разделимый вектор |a⟩ ⊗ |b⟩ из 𝕍_A ⊗ 𝕍_B. Разложив |a⟩ и |b⟩ по каноническим базисам их родных гильбертовых пространств, так что

|a⟩ = a_H|H⟩ + a_V|𝑣⟩,

|b⟩ = b_H|H⟩ + b_V|𝑣⟩,

используем (2.2) и (2.3), чтобы записать

|a⟩ ⊗ |b⟩ = a_H b_H |H⟩ ⊗ |H⟩ + a_H b_V |H⟩ ⊗ |V⟩ + a_V b_H |V⟩ ⊗ |H⟩ + a_V b_V |V⟩ ⊗ |V⟩. (Р2.1)

Иными словами, любой разделимый элемент 𝕍_A⊗ 𝕍_B может быть записан как линейная комбинация элементов B. Это свойство легко обобщается на запутанные векторы, потому что любой запутанный вектор представляет собой линейную комбинацию разделимых векторов.

Во-вторых, нам нужно доказать, что B линейно независимо. Это следует из того, что все элементы B ортогональны друг другу [см. (2.4)] и что любое множество взаимно ортогональных векторов линейно независимо (упр. A.17).

Решение для упражнения 2.3. Поскольку имеет место равенство

Состояние |30°⟩ ⊗ |R⟩ разделимо.

Решение для упражнения 2.4

a) Прежде всего представим оба состояния в каноническом базисе:

Отсюда следует, что

b) Поскольку и |P⟩, и |Ω⟩ разделимы, имеет место равенство:

⟨П|Ω⟩ = −i(2⟨H|−i⟨V|)(2i|H⟩−3i|V⟩) × (⟨H|−i⟨V|)(|H⟩+|V⟩)/2 = −i[2×(2i)+(−i)×(−3i)][1×1+(−i)×1]/2 = −i(−3+4i)(1−i)/2 = (7−i)/2.

Решение для упражнения 2.6. Рассмотрим, например, |Φ⁺⟩. Предположим, что это состояние может быть записано как произведение:

|Φ⁺⟩ = |a⟩_A ⊗ |b⟩_B, (Р2.2)

где |a⟩ и |b⟩ — некоторые состояния в 𝕍_A и 𝕍_B соответственно. Эти состояния можно разложить по каноническим базисам их пространств:

|a⟩ = a_H |H⟩ + a_V |V⟩;

|b⟩ = b_H |H⟩ + b_V |V⟩.

Подставив эти разложения в (Р2.2), сравнив результат с определением |Φ⁺⟩ из (2.5c) и воспользовавшись единственностью разложения вектора в базисе, находим

Из второго уравнения этой системы нам становится ясно, что или a_H = 0, или b_V = 0. Поэтому либо a_H b_H, либо a_V b_V должно обнулиться, что противоречит первому или четвертому уравнениям системы (Р2.3).