Сравнивая последние два уравнения, получаем требуемое тождество.
Решение для упражнения 2.21
a) Если операторы Â в 𝕍A и в 𝕍B эрмитовы, их матрицы удовлетворяют и Тогда в соответствии с результатом упр. 2.13:
При перестановке и транспонировании матрицы получается та же матрица, а это признак эрмитова оператора (упр. A.53).
b) Если оператор Â в 𝕍A унитарен, он отображает ортонормальный базис {|𝑣i⟩} на другой ортонормальный базис {|𝑣′i⟩} (см. упр. A.81). Подобным образом унитарный оператор в 𝕍B преобразует ортонормальные базисы {|ωi⟩} и {|ω′i⟩} друг на друга. Тензорное произведение Â и отображает друг на друга {|𝑣i ωj⟩} и {|𝑣′iω′j⟩}, которые тоже являются ортонормальными базисами. Оператор, обладающий таким свойством, должен быть унитарным.
Решение для упражнения 2.22. Локальный оператор — частный случай тензорного произведения операторов, который, согласно упр. 2.17, не может преобразовывать разделимое состояние в запутанное.
Обратная операция также невозможна, потому что любой унитарный оператор обратим. Если бы существовал унитарный оператор, реализующий такое преобразование, то оператор, обратный к нему, превращал бы разделимое состояние в запутанное, а это невозможно.
Решение для упражнения 2.23
Решение для упражнения 2.24
b) Поскольку Â и эрмитовы, они имеют спектральные разложения и где {|𝑣i⟩} и {|ωj⟩} суть ортонормальные базисы в пространствах Алисы и Боба соответственно. Следовательно,
где {|𝑣i ωj⟩} — ортонормальный базис в 𝕍 ⊗ 𝕎. Поскольку |Ψ⟩ представляет собой собственное состояние с собственным значением x, это означает в соответствии с упр. A.66, что его можно записать в виде линейной комбинации только тех элементов базиса {|𝑣i ωj⟩}, для которых
А это значит, что состояние |Ψ⟩, если его измерить в базисе {|𝑣i⟩ ⊗ |ωj⟩}, спроецируется на один из этих базисных элементов. Измерение Â Алисой и Бобом вместе образуют совместное измерение |Ψ⟩ в базисе {|𝑣i ωj⟩}. Данное измерение, таким образом, даст пару векторов |𝑣i⟩ ⊗ |ωj⟩, для которых выполняется (Р2.11). Но также имеет место равенство
где ai и bj суть значения наблюдаемых, связанные с |𝑣i⟩ и |ωj⟩. Сравнивая уравнения (Р2.11) и (Р2.12), находим, что ai bj = x.
Решение для упражнения 2.25
Решение для упражнения 2.26
a) Если |ψA,B(t)⟩ — решения уравнения Шрёдингера в соответствующих пространствах:
то для их тензорного произведения имеет место равенство
c) Поскольку собственные состояния локальных гамильтонианов ĤA,B образуют ортонормальные базисы (упр. A.60), тензорные произведения этих собственных состояний образуют ортонормальный базис в гильбертовом пространстве тензорных произведений 𝕍A ⊗ 𝕍B (упр. 2.2). Любое собственное состояние |ΨE⟩ оператора Ĥ с энергией E может быть разложено по этому базису.
Теперь предположим, что данное разложение содержит член |ψA⟩ ⊗ |ψB⟩, которому соответствует энергия EA + EB ≠ E. Тогда, как мы обнаружили в пункте b), этот член является также собственным состоянием полного двусоставного гамильтониана с собственным значением, не равным E. Но из спектральной теоремы (упр. A.60) следует, что собственные состояния наблюдаемого, соответствующие разным его собственным значениям, ортогональны друг другу. Это означает, что член |ψA⟩ ⊗ |ψB⟩ ортогонален |ΨE⟩. Но разложение вектора по базису не может содержать членов, ортогональных этому вектору. Мы пришли к противоречию.
Решение для упражнения 2.27. Согласно упр. 2.9, состояние |Ψ—⟩ может быть записано как
Это выражение подразумевает, что всякий раз, когда у Алисы есть фотон в состоянии |θ⟩, фотон Боба находится в состоянии Поскольку оба слагаемых имеют амплитуду соответствующие вероятности составят 1/2.
Решение для упражнения 2.28. Поскольку и имеет место равенство:
а это то же самое, что (2.13).
Решение для упражнения 2.29. Согласно (2.16),
В последнем уравнении мы воспользовались тем, что состояние |Ψ⟩ нормировано.
Решение для упражнения 2.30
a) Мы можем переписать интересующее нас состояние как
Соответственно, ⟨Ψ|Ψ⟩ = 3𝒩2, так что .
b) Чтобы переписать состояние |Ψ⟩ в виде (2.15), сгруппируем слагаемые, связанные с горизонтальной и вертикальной поляризацией у Алисы, и пронормируем каждое слагаемое заново:
c) Из приведенного выше результата следует, что Алиса обнаружит |H⟩ с вероятностью и в этом случае состояние, приготовленное у Боба, будет состояние же |V⟩ Алиса обнаружит с вероятностью в таком случае состояние, приготовленное у Боба, будет |V⟩.
Решение для упражнения 2.31
⟨ψБоб|Ω⟩ = (2⟨H| − i⟨V|)Боб(2 |HH⟩ + 3 |HV⟩ + 4 |VH⟩) = 2 |H⟩Алиса(2⟨H| − i⟨V|)Боб|H⟩Боб + 3 |H⟩Алиса(2⟨H| − i⟨V|)Боб|V⟩Боб + 4 |V⟩Алиса(2⟨H| − i⟨V|)Боб|H⟩Боб = (4 |H⟩ − 3i|H⟩ + 8 |V⟩)Алиса = [(4 − 3i)|H⟩ + 8 |V⟩]Алиса;
