Выражение в квадратных скобках — это обратное преобразование Фурье, что неудивительно, ведь мы переходим от волночислового к координатному базису. Первая экспонента в приведенном интеграле — линейный фазовый множитель, который после преобразования Фурье переводится, согласно (Г.14), в сдвиг координаты на a + ℏk0t/M — движение волнового пакета. Вторая экспонента — это функция Гаусса, Фурье-образом которой также является гауссова функция. Следовательно, результирующая волновая функция
c) Сначала вычислим плотность вероятности, принимая во внимание комплексность гауссовой экспоненты в уравнении (Р3.9). Находим:
Это распределение Гаусса с центром в и шириной Чтобы определить дисперсию координаты, воспользуемся упр. Б.18:
Решение для упражнения 3.30
a) В соответствии с уравнением (Р3.10), ширина гауссова волнового пакета растет при большом t согласно
Мы можем переписать это как Подставив d = 10−10 м и M ≈ 10−30 кг, найдем t ≈ 1 нс.
b) Для M ≈ 10−3 кг имеем t ≈ 1018 с, т. е. порядка возраста Вселенной.
c) Согласно уравнению (Р3.10), искомое время удовлетворяет ℏt/Md2 ≈ 1, так что t ∼ 1 с.
Решение для упражнения 3.31. Условие, что p0 много больше неопределенности импульса начального волнового пакета, означает в соответствии с упр. 3.25, что p0 ≫ ℏ/d. Иными словами, пройденное расстояние p0t/M много больше, чем ℏt/Md, т. е. оно много больше, чем в соответствии с уравнением (Р3.11).
Решение для упражнения 3.32. Перепишем стационарное уравнение Шрёдингера
в координатном базисе:
и воспользуемся результатом упр. 3.22:
Решение для упражнения 3.33. Мы можем переписать стационарное уравнение Шрёдингера (3.60) как
где не зависит от x. У этого дифференциального уравнения второго порядка два линейно независимых решения:
ψ(x) = Aekx + Be—kx. (Р3.13)
Множитель κ действителен только в том случае, если E < V0, т. е. полная энергия ниже уровня потенциальной. В противном случае κ становится мнимым, и (Р3.13) принимает вид волны де Бройля
ψ(x) = Aeikx + Be—ikx, (Р3.14)
где — это действительное волновое число.
Решение для упражнения 3.34. Рассмотрим оператор Ĥ — Vmin, где Vmin — минимальное значение V(x). Этот оператор — оператор энергии (3.55) — представляет собой сумму двух неотрицательных функций и импульса и координаты соответственно и, следовательно, тоже неотрицателен (упр. A.73, A.87). Такой оператор не может иметь отрицательных собственных значений (упр. A.72). А значит, у оператора Ĥ нет собственных значений, меньших Vmin.
Решение для упражнения 3.35. Обратимся вновь к уравнению (Р3.12). Если и V(x), и ψ(x) конечны при любых x, то конечна и правая часть этого уравнения. Это означает, что d2ψ(x)/dx2 тоже конечно при любых x. Такой вывод подразумевает, в свою очередь, что первая производная волновой функции непрерывна при всех x. Следовательно, ψ(x) тоже должна быть непрерывна при всех x.
Решение для упражнения 3.36. Предположим, что у некоторого гамильтониана существует собственное состояние |ψ⟩ с собственным значением E, которое не может быть выражено в виде линейной комбинации собственных состояний с действительными волновыми функциями. Запишем волновую функцию этого состояния как сумму действительной и мнимой частей: ψ(x) = ψ1(x) + iψ2(x), где ψ1,2(x) ∈ R. Тогда стационарное уравнение Шрёдингера (3.60) принимает вид:
Это уравнение удовлетворяется, потому что |ψ⟩ — собственное состояние гамильтониана с собственным значением E. Взяв действительные и мнимые части обеих сторон этого уравнения, находим, что и ψ1(x), и ψ2(x) удовлетворяют ему, поэтому соответствующие состояния |ψ1⟩ и |ψ2⟩ также являются собственными состояниями Ĥ с собственным значением E. А значит, состояние |ψ⟩ можно выразить как линейную комбинацию |ψ⟩ = |ψ1⟩ + i|ψ2⟩ энергетических собственных состояний с действительными собственными значениями. Получено противоречие.
Решение для упражнения 3.37. Аргументация аналогична предыдущему упражнению. Рассмотрим энергетическое собственное состояние |ψ⟩ с собственным значением E и волновой функцией ψ(x). Если ψ(x) удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера с четным потенциалом, то ψ(—x) также удовлетворяет ему. Чтобы убедиться в этом, заменим x на — x в стационарном уравнении Шрёдингера (3.60):
Поскольку наш потенциал четный, V(—x) = V(x). Кроме того, вторая производная имеет свойство Следовательно, приведенное уравнение можно переписать как
так что состояние |ψ—⟩ с волновой функцией ψ(—x) тоже является собственным состоянием данного гамильтониана.
Это означает, что состояния |ψ1,2⟩ = |ψ⟩ ± |ψ—⟩ также собственные состояния гамильтониана с той же энергией. Более того, |ψ1⟩ имеет четную волновую функцию, а |ψ2⟩ — нечетную. Поэтому состояние |ψ⟩ можно выразить в виде следующей линейной их комбинации:
