Коэффициент отражения стремится к единице при E → V0 (т. е. когда k1 → 0) и к нулю при E → ∞ (т. е. когда k0 — k1 → 0). Коэффициент пропускания ведет себя противоположным образом.
Решение для упражнения 3.50. Если энергия E ниже уровня потенциального барьера, решение стационарного уравнения Шрёдингера после барьера представляет собой убывающую экспоненту:
где Обратите внимание, в этом случае нет D-волны, потому что она показывала бы при x → ∞ экспоненциальный рост. Условие непрерывности теперь принимает вид
A + B = C;
ik0(A — B) = —κC.
Эта система двух линейных уравнений легко решается и дает
Так как амплитуды падающей и отраженной волн (A и B соответственно) одинаковы по абсолютной величине. Более того, эти волны распространяются с одинаковыми фазовыми и групповыми скоростями, а потому имеют одинаковый ток плотности вероятности. Следовательно, коэффициент отражения равен единице.
Решение для упражнения 3.51. Начальный волновой пакет можно переписать в базисе волновых чисел, согласно (3.52), как
где κ мала по сравнению с k0 и k1. Наша цель — вычислить эволюцию этого состояния. В упр. 3.29 нам помогало то, что собственные состояния импульса в правой части уравнения (Р3.49) автоматически являлись и собственными состояниями энергии. Здесь это уже не так. Однако с учетом заданных предположений мы можем с высокой степенью точности заменить импульсные собственные состояния в разложении выше на соответствующие энергетические собственные состояния.
Чтобы убедиться в этом, запишем собственные состояния энергии (3.76) в виде
где B и C связаны с A согласно уравнению (3.78a). Первый член правой части уравнения (Р3.50) — A-волна — идентичен волновой функции состояния |k0 + κ⟩ слева от барьера для Второй член (B-волна) тоже располагается слева от барьера, но имеет отрицательное волновое число. Третий член (C-волна) расположен справа от барьера. Исходный волновой пакет располагается почти полностью далеко слева от барьера и состоит, тоже почти полностью, из волн с положительными волновыми числами. Это означает, что его разложение (Р3.49) можно переписать как
Теперь, поскольку каждое |ψбар(κ)⟩ есть собственное состояние нашего гамильтониана, мы можем найти эволюцию приведенного выше состояния во времени согласно
где энергия каждого |ψбар(κ)⟩ равна (пренебрегая квадратичными членами по κ) Находим для вектора состояния
Теперь мы можем вычислить интеграл в уравнении (Р3.54) для каждой волны в уравнении (Р3.50) по отдельности. Общим фазовым множителем и вариацией амплитуд B и C в зависимости от малого параметра κ можно пренебречь.
A-волна. Применив стандартные правила преобразования Фурье (упр. Г.5), получаем:
Это гауссов волновой пакет, центр которого располагается в точке и распространяется со скоростью ℏk0/M в положительном направлении. Когда пакет доходит до барьера (т. е. в точке он пропадает из-за множителя θ(—x). Перед тем как это произойдет, полная вероятность, связанная с этим волновым пакетом, будет равна
B-волна обрабатывается аналогично, за исключением того, что интеграл соответствует обратному преобразованию Фурье. Мы получаем
Этот волновой пакет представляет собой зеркальное отображение предыдущего. При t = 0 он расположен в x = —a, но «невидим» из-за множителя θ(—x). Пакет распространяется в отрицательном направлении. Достигнув барьера (одновременно с A-пакетом), он становится «видимым». Этот волновой пакет связан с отражением частицы от барьера. Связанная с ним полная вероятность
C-волна. Воспользовавшись тем, что и снова пренебрегая членами второго порядка по отношению к κ, мы можем заменить в уравнении (Р3.50)
Этот пакет у́же, чем остальные два, в k0/k1 раз. Он начинает свое существование при t = tбар и распространяется в положительном направлении со скоростью ℏk1/M. Данный волновой пакет связан с частицей, прошедшей через барьер, и имеет вероятность Прямое вычисление показывает, что prB + prC = 1.
Решение для упражнения 3.52. Действуя так же, как в упр. 3.47, находим, что решение здесь представляет собой комбинацию шести волновых функций, как показано на рис. 3.6, и является, таким образом, функцией шести переменных. Для каждой из двух границ существует два условия непрерывности (для волновой функции и ее производной):
A + B = C + D;
ik0(A-B) = κ(C-D);
CeκL + De−κL = F + G;
κ(CeκL — De−κL) = ik0(F — G),
где Опять же каждое значение энергии является дважды вырожденным: линейно независимые решения соответствуют материальным волнам, приходящим слева (G = 0) и справа (A = 0). Нам интересен первый вариант, поэтому мы решаем уравнения выше для произвольного F, продвигаясь справа налево. Таким образом находим соотношение между падающей, пропущенной и отраженной амплитудами:
Соответствующие коэффициенты пропускания и отражения даются уравнениями (3.81).
Решение для упражнения 3.53. По аналогии с решением для упр. 3.51 записываем энергетические собственные состояния в виде
