Отличная квантовая механика полностью

Упражнение 1.16. Предположим, вам дан единственный экземпляр квантовой системы, находящейся в одном из двух неортогональных состояний |a⟩ и |b⟩. Вам известно, что это за состояния, но вы не знаете, в каком именно из них находится система.

a) Покажите, что невозможно построить устройство, которое всегда достоверно определяло бы состояние системы.

b) * Покажите, что можно сконструировать измерительное устройство, которое будет выдавать, с некоторой вероятностью, результаты трех типов: «определенно |a⟩», «определенно |b⟩» и «не уверен», причем результаты первых двух типов всегда будут верными.

Подсказка: попробуйте использовать неполяризующий светоделитель — оптический элемент, который случайным образом либо пропускает, либо отражает фотон вне зависимости от его поляризации.

Рассмотрим эксперимент, показанный на рис. 1.3. Единичный фотон, находившийся первоначально в диагонально поляризованном состоянии попадает в устройство, известное как интерферометр[19]. Сначала PBS пропускает горизонтальный компонент состояния и отражает вертикальный. Затем отраженный компонент проходит через варьируемую линию задержки[20], и оба компонента вновь соединяются при помощи еще одного PBS. После этого состояние на выходе интерферометра подвергается измерению в диагональном базисе.

Линия задержки вводит разницу между оптической длиной пути вертикального и горизонтального компонентов. Если длина этой линии равна l, то вертикальный компонент получит сдвиг фазы на ϕ = kl по отношению к горизонтальному, где k = 2π/λ есть волновое число. В результате фотон, выходя из интерферометра, будет в состоянии

Мы изучили измерение этого состояния в упр. 1.14 и выяснили, что вероятности срабатывания детекторов «+» и «−» составляют соответственно. При изменении длины линии задержки вероятности меняются синусоидально. Иными словами, мы увидим интерференционные полосы — такие же, какие в таком оптическом устройстве образовала бы макроскопическая волна.

Что в этом выводе поистине замечательно (и, разумеется, целиком и полностью подтверждено экспериментально), так это то, что интерференционные полосы порождает один-единственный фотон. Это решительно противоречит нашим интуитивным представлениям. Действительно, в классическом эксперименте интерференция возникает потому, что две волны, проходящие по двум путям интерферометра, получают разные фазы и затем складываются когерентно на фотодетекторах. Но в нашем эксперименте присутствует всего один фотон! Фотон — неделимая элементарная частица света, поэтому он не может расщепиться[21] в интерферометре и породить две волны, необходимые для образования интерференционных полос. Он должен двигаться в одиночестве либо по верхнему, либо по нижнему пути интерферометра — но не по двум путям одновременно.

Эти разумные и интуитивно понятные доводы противоречат и нашим расчетам, и экспериментальным наблюдениям. Как можно это объяснить?

Фотон, попадающий в интерферометр, находится в суперпозиции состояний вертикальной и горизонтальной поляризации. После первого PBS он по-прежнему находится в состоянии суперпозиции — но теперь это также суперпозиция верхнего и нижнего путей интерферометра. После воссоединения путей она вновь превращается в суперпозицию состояний поляризации — но уже с фазовым сдвигом у одного из ее компонентов. Именно эти два компонента суперпозиции играют здесь роль двух волн из классического эксперимента и интерферируют друг с другом. Так проявляется корпускулярно-волновой дуализм (wave-particle duality) квантовых частиц[22].

Получается, что в определенном смысле фотон все-таки расщепляется между двумя каналами интерферометра. Однако такое волноподобное поведение возможно только в том случае, если компоненты остаются в состоянии суперпозиции. Чтобы это проиллюстрировать, предположим, что в обоих каналах интерферометра мы размещаем детекторы, способные регистрировать фотоны, не разрушая их. Всякий раз, когда какой-нибудь фотон попадает в интерферометр, один из этих детекторов срабатывает и показывает нам, по верхнему или по нижнему пути прошел фотон. Таким способом, как сказали бы отцы-основатели квантовой механики, мы получаем о фотоне информацию Welcher Weg[23].