Примени математику полностью

2.13. Совпадение остатков от деления двух чисел на 9 не дает возможности утверждать равенство самих этих чисел: например, числа 49 и 40 имеют одинаковые остатки, но не совпадают друг с другом. Поэтому описанные в задачах 2.11 и 2.12 способы проверки вычислений не могут дать гарантии от ошибок. Та же пара чисел показывает, что даже в случае правильности всех цифр ответа, кроме, быть может, одной, этих проверок, вообще говоря, не достаточно (исключение составляет случай, когда в ответе нет ни одной цифры 0 и 9, поскольку тогда любое изменение одной цифры ответа влечет за собой изменение его остатка от деления на 9).

2.14. Если бы линейка стоила на 1 копейку дешевле, то общая стоимость товаров, выраженная в копейках, была бы кратна 4, так как в этом случае стоимость каждого вида перечисленных в условии предметов делилась бы на 4. Поскольку названа сумма 5 рублей 27 копеек, то число 27 - 1 = 26 должно делиться на 4 (см. задачу 2.5), что неверно. Таким образом, сумма подсчитана с ошибкой.

2.15. Представим данные числа в виде 6 = 2*3, 12 = 4*3, 15 = 3*5, 18 = 2*9, 24 = 8*3, 36 = 4*9, 45 = 9*5 и воспользуемся следующим утверждением: делимость на число m = pq, представляющее собой произведение взаимно простых чисел р и q, равносильна одновременной делимости на р и на q. Взаимная простота чисел р и q играет существенную роль, поскольку без этого требования утверждение было бы неверно. Например, несмотря на справедливость разложения 24 = 4*6, из делимости числа 12 на 4 и на 6 не следует его делимость на 24. В то же время делимость какого-либо числа на 8 и на 3 влечет за собой его делимость на 24.

2.16. Пусть q₁, q₂, q₃, ... - частные от деления на m чисел 10¹, 10², 10³, ... соответственно с остатками m₁, m₂, m₃, ... Тогда справедливо представление

из которого следует, что числа n и

f_m(n)= n₀+m₁n₁+m₂n₂+. ..+m_kn_k

дают одинаковые остатки при делении на m. Кроме того, если при последовательном вычислении остатков m₁, m₂, m₃, ... уже найден остаток m_k, то остаток от деления на m числа

равен остатку от деления на m слагаемого 10m_k в последней сумме.

2.17. Полагая в признаке Паскаля m = 2, m = 3, m = 5 и m = 9, получаем для (k+1)-значного числа п следующие числа:

f₂(n)= n₀,

f₃(n)= n₀+n₁+n₂+. ..+n_k,

f₅(n)= n₀,

f₉(n)= n₀+n₁+n₂+. ..+n_k.

Эти числа определяют в точности те же признаки делимости, что и сформулированные в задачах 2.4, 2.8, 2.1, 2.9.

2.18. Полагая в признаке Паскаля m = 4 и m = 8, получаем для k-значного числа n следующие числа:

f₄(n)= n₀+2n₁, f₈(n)= n₀+2n₁+4n₂.

Получаемые в результате признаки делимости на 4 и на 8 несколько отличаются от приведенных в задачах 2.5 и 2.6, однако вряд ли могут рассматриваться как более простые, поскольку, на наш взгляд, требуют чуть больше вычислений.

2.19. Доказательство модификации признака Паскаля, по существу, ничем не отличается от доказательства, приведенного в решении задачи 2.16. Разница состоит лишь в том, что деление каких-то из чисел 10¹, 10², 10³, ... на m нужно провести не с остатком, а с недостатком, т. е. в соответствующих формулах

10^k = q_km + m_k

положительные числа m_k взять на m меньшими прежних (отрицательными), a q_k - на 1 большими прежних.

2.20. Производя в признаке Паскаля деление степеней десятки на 11 попеременно то с остатком, то с недостатком, имеем

10 = 11 - 1, m₁ = -1,

10m₁ = -10 = -11 + 1, m₂ = 1,

10m₂ = 10 = 11 - 1, m₃ = 1,

откуда получаем, что число дает тот же остаток при делении на 11, что и число

f₁₁(n)= n₀-n₁+n₂-n₃+. ..+(-1)^kn_k.

Поэтому для делимости числа n на 11 необходимо и достаточно, чтобы суммы n₀ + n₂ + ... и n₁ + n₃ + ... отличались друг от друга на число, кратное 11.

2.21. Подставляя значение m = 11 в утверждения, сформулированные в решениях задач 2.11 и 2.12, и используя признак делимости на 11, получаем способы проверки сложения и умножения. Если у числа n, представляющего собой истинный ответ, заменить одну цифру на неверную, то число f₁₁(n) обязательно изменится на некоторое число, меньшее 11 (даже меньшее 10), а значит, будет давать другой, уже неверный остаток от деления на 11. Поэтому, сравнив его с верным остатком, можно обнаружить ошибку. Более того, если известно, в какой именно цифре числа n возможна-ошибка, эту цифру можно однозначно восстановить.

2.22. Действуя согласно модифицированному признаку Паскаля, при m = 7 имеем

10 = 7 + 3, m₁ = 3,

10m₁ = 30 = 28 + 2, m₂ = 2,

10m₂ = 20 = 21 - 1, m₃ = -1,

10m₃ = -10 = -7 -3, m₄ = -3,

10m₄ = -30 = -28 - 2, m₅ = -2,

10m₅ = -20 = -21 + 1, m₆ = 1,

10m₆ = 10 = 7 + 3, m₇ = 3, ... ,