В Англии де Муавр вел печальную и неустроенную жизнь. Несмотря на все усилия, ему не удалось добиться приличной академической должности. Он зарабатывал на жизнь уроками математики и консультациями по применению теории вероятностей для игроков и страховых брокеров. С этой целью он держал неофициальную приемную в кофейне Слайтера, что на улице Святого Мартина, где большей частью и проводил остаток дня по окончании занятий с учениками. Хотя он был другом Ньютона и стал членом Королевского общества уже в тридцать лет, он так и остался едким, ушедшим в себя, асоциальным человеком. Умер он в 1754 году в бедности и слепоте в возрасте 87-ми лет.
В 1725 году де Муавр опубликовал работу, озаглавленную «Пожизненная рента» («Annuities upon Lives»), с анализом таблиц Галлея о продолжительности жизни и смертности в Бреслау. Хотя книга посвящена главным образом научным проблемам, в ней обсуждаются многие вопросы, относящиеся к головоломкам, которые пытались решить Бернулли и которые позднее де Муавр детально исследовал.
Историк статистики Стивен Стиглер (Stigler) приводит интересный пример, рассмотренный в работе де Муавра о ренте. Таблицы Галлея свидетельствовали, что в Бреслау из 346 человек пятидесятилетнего возраста только 142, то есть 41%, дожили до семидесяти лет. Это очень маленькая выборка. В какой мере можно использовать этот результат для выводов об ожидаемой продолжительности жизни пятидесятилетних? Де Муавр не мог использовать эти числа для определения вероятности того, что человек в возрасте пятидесяти лет имеет меньше 50% шансов дожить до семидесяти, но он мог бы ответить вот на какой вопрос: «Если в действительности шансы равны, какова вероятность того, что выборка покажет величину не более 142/346?»
Первая прямо посвященная теории вероятностей работа де Муавра озаглавлена «De Mensura Sortis» (буквально «Об измерении случайных величин»). Работа была впервые опубликована в 1711 году в журнале Королевского общества «Philosophical Transactions». В 1718 году де Муавр предпринял значительно расширенное издание этой работы на английском языке, озаглавленное «Теория случайностей» («The Doctrine of Chances»), с посвящением своему близкому другу Исааку Ньютону. Книга имела огромный успех и выдержала еще два издания в 1738-м и 1756 годах. Работа, видимо, произвела сильное впечатление на Ньютона, который при случае говорил своим студентам: «Обратитесь к мистеру де Муавру, он знает эти вещи лучше меня». «De Mensura Sortis», по-видимому, первая работа, в которой риск определен как шанс проигрыша: «Риск проиграть некую сумму обратен ожиданию выигрыша, и истинной мерой его является произведение поставленной на кон суммы на вероятность проигрыша».
В 1730 году де Муавр в конце концов обратился к предложенной Николаем Бернулли теме — насколько хорошо реальная выборка отображает свойства совокупности, на основе которой она построена. В 1733 году он опубликовал полное решение задачи и включил его во второе и третье издания «Теории случайностей». Он начинает с признания, что Якоб и Николай Бернулли «показали очень большое искусство... Однако некоторые вещи нуждаются в дальнейшей разработке». В частности, подход обоих Бернулли «представляется настолько трудоемким и связан с такими сложностями, что до сих пор мало кто соглашался их преодолевать».
Действительно, необходимость проведения 25 550 испытаний делала решение задачи практически неосуществимым. Даже если бы, как утверждал Джеймс Ньюмен, Якоб Бернулли в приведенном им примере был бы готов удовлетвориться «практической достоверностью», не большей, чем в пари с равными шансами, — вероятностью 50/100 того, что результат будет с точностью до 2% равен 3/2, — и то понадобилось бы 8 400 испытаний. По нынешним стандартам требование Якобом вероятности 1000/1001 курьезно само по себе. Сегодня большинство статистиков принимают несовпадение не более чем в 1 из 20 случаев как основание признания значимости (так сегодня называют практическую достоверность) результата с более чем достаточной степенью вероятности.
Достижения де Муавра в решении этой проблемы стоят в ряду наиболее важных математических открытий. Используя вычисления и основные свойства треугольника Паскаля, составляющие содержание биномиальной теоремы, де Муавр демонстрирует, как ряд случайных испытаний, подобных опытам Бернулли с кувшином, приводит к распределению результата вокруг среднего значения. К примеру, предположим, вы вытащили сто камешков подряд из кувшина Якоба, каждый раз возвращая камешек в кувшин и фиксируя отношение числа черных и белых камешков. Теперь предположим, вы выполнили серию таких опытов по сто испытаний в каждом. Де Муавр смог бы заранее приблизительно сказать вам, сколько из этих отношений будут близки к среднему отношению в суммарном числе испытаний и как эти отдельные отношения будут распределены относительно этого среднего.
