Есть, по крайней мере, три серьезных основания для того, чтобы использовать логарифмический масштаб. Во-первых, это позволяет отобразить карликовую землеройку, лошадь и голубого кита на одном и том же графике, не нуждаясь в ста ярдах бумаги. Во-вторых, это помогает отмечать мультипликативные признаки, что иногда мы и делаем. Мы не просто хотим знать, насколько большой у нас мозг, а каков он по отношению к размерам нашего тела. Нам интересно узнать, что наш мозг, скажем, в шесть раз больше, чем он должен быть. Такие мультипликативные суждения могут быть вынесены при непосредственном прочтении логарифмического графика: таковы логарифмические средства. Третья причина для предпочтения логарифмических величин требует немного больше времени для объяснения. Один подход состоит в том, чтобы отобразить разброс наших значений вдоль прямых линий вместо кривых, но есть кое-что еще. Позвольте мне попытаться объяснить это моему собрату, неспециалисту в числах.
Предположите, что Вы берете объект, такой как сфера или куб, или действительно мозг, и раздуваете его равномерно таким образом, чтобы это была все та же форма, но в десять раз больше. В случае сферы это означает увеличение диаметра в десять раз. В случае куба или мозга это означает десятикратную ширину (и высоту, и длину). Во всех этих случаях пропорционального увеличения, что случится с объемом? Он не будет в десять раз большим – он будет в тысячу раз большим! Вы можете доказать это для куба, если представите себе укладывание кубиков сахара. То же самое относится к равномерному увеличению любой формы, которую Вы захотите. Умножьте длину на десять и, если форма не изменяется, Вы автоматически умножаете объем в тысячу раз. В частном случае десятикратного увеличения это эквивалентно добавлению трех нолей. В общем, объем пропорционален третьей степени длины и ее логарифму, умноженному на три.
Мы можем сделать те же вычисления для площади поверхности. Но площадь увеличивается пропорционально второй степени длины, а не третьей. Недаром возведение во вторую степень называется квадратом, в то время как возведение в третью – кубом. Объем куска сахара определяет его количество и сколько он стоит. Но то, как быстро он растворится, будет зависеть от площади его поверхности (не простое вычисление, потому что когда он растворяется, площадь поверхности будет сокращаться медленнее, чем объем оставшегося сахара). Когда Вы увеличиваете объем объекта, удваивая его длину (ширину, и т.д.), Вы умножаете площадь поверхности на 2 ? 2 = 4. Умножьте его длину на десять, и Вы умножите площадь поверхности на 10 ? 10 = 100 или добавите два ноля к числу. Логарифм площади увеличивается как двойной логарифм длины, в то время как логарифм объема увеличивается как тройной логарифм длины. Двухсантиметровый кусок сахара будет содержать в восемь раз больше сахара, чем односантиметровый кусок, но он будет передавать этот сахар в чай только в четыре раза быстрей (по крайней мере, первоначально), потому что это зависит от поверхности куска, которая реагирует с чаем.
Теперь представьте, что для кусков сахара с широким диапазоном размеров мы составляем график зависимости массы куска (пропорционального объему) по горизонтальной оси от (начальной) скорости растворения (пропорциональной площади) по вертикальной оси графика. На нелогарифмическом графике отметки расположатся вдоль кривой линии, которая будет весьма трудно интерпретируема и не очень полезна. Но если мы представим логарифм массы против логарифма начальной скорости растворения, то увидим кое-что намного более информативное. Для каждого утроенного логарифма приращения массы мы будем видеть удвоенный логарифм площади поверхности. В таком двойном логарифмическом масштабе отметки не будут ложиться вдоль кривой, они лягут вдоль прямой линии. Более того, наклон прямой будет выражать нечто весьма определенное. Это будет наклон два к трем: для каждых двух шагов вдоль оси площади прямая делает три шага вдоль оси объема. Для каждого удвоения логарифма площади утраивается логарифм объема. Две трети – не единственный информативный наклон прямой, которую мы могли бы видеть на двойном логарифмическом графике. Графики подобного рода информативны, потому что наклон прямой дает нам интуитивное чувство того, что происходит в отношении таких вещей как объемы и площади. И объемы, и площади, и сложные отношения между ними чрезвычайно важны в понимании живых тел и их частей.
