— Вот и Георг Кантор…, — начала было Каллипига, но ее хором перебили.
— А что, если основываться на понимании единиц множества как существующих раздельно? — спросили все.
Парменид-то, разумеется, молчал, лишь ехидно улыбался, да попивал капустный рассол.
— Если единицы отделены друг от друга, без чего нет и самого множества, — сказал Зенон, — то существует нечто, разделяющее их. Перед любой вещью всегда должно находиться что-нибудь вследствие бесконечной делимости. Но, в свою очередь, между единицей и этим разделяющим тоже имеется свое разделяющее. И между последним разделяющим и единицей будет свое разделяющее. И к лежащей перед ней вещи применимо опять то же самое рассуждение. Итак, то самое, что было сказано однажды, можно повторять до бесконечности. Ибо ни одна такая вещь не будет последней и никогда не будет вещи, у которой не было бы вышеуказанного отношения к другой вещи. Таким образом, если множество существует, то оно бесконечно.
— С ума можно сойти, — в ужасе сказали все, исключая Парменида.
А Каллипига снова завелась:
— Когда Георг Кантор в своей теории множеств…
Неужели и этот сидел у нее на коленях, тоскливо подумал я.
— И сколько у тебя, Зенон, еще таких доказательств? — спросил Сократ.
— Тридцать восемь, — с бесконечной точностью ответил тот.
Все призадумались. Парменид-то, впрочем, о капустном рассоле. Задумался и я. Не трудно было заметить, что противоречивость множества устанавливалась в аргументах Зенона как следствие противоречивости составляющих единиц. Что такое единица в понимании Зенона? С одной стороны, это неделимая часть множества, с другой — это то, что существует обособленно и своим существованием определяет существование множества. Но эти понятия несовместимы. Если единица неделима, она не имеет величины, если она существует как обособленное, она имеет величину! Поэтому Зенону и удается обосновать противоположности тезиса и антитезиса в своих антиномиях. Но в том и в другом случае разрушается само представление о единице. Не имея величины, она вообще не может существовать. Если же она имеет величину, то она может быть делима, но поэтому уже не является единицей. Следовательно, понятие единицы множества как существующей, но неделимой — предположение не только противоречивое, но и внутренне невозможное.
Не потому ли Пифагор не считал Единицу числом?
Что ж… Зенон действительно доказал, что понятие множества противоречиво, что понятие составляющих его единиц тоже противоречиво. Но достаточно ли этого вывода, даже хорошо обоснованного, чтобы показать несостоятельность учений о множественности самого бытия? Можно ли отрицать существование многого только на том основании, что его понятие противоречиво? Будет ли такое отрицание убедительным? Вот о чем я, оказывается, мучительно думал.
— Когда Георг Кантор в своей теории множеств докопался до пустого множества и множества всех множеств, то сошел с ума, — все-таки довела свою мысль до высказывания Каллипига.
Следовательно, Кантор не сидел у нее на коленях, решил я. Видимо, чокнулся раньше. Это меня немного успокоило.
— Движение невозможно, — сказал Зенон. — Ибо до того, как движущееся тело достигнет конечной цели своего пути, оно должно преодолеть половину расстояния, и так далее до бесконечности.
Тут все раскрыли рты, соображая, что бы это значило.
Задумался и я. Утверждение Зенона означало, что движение предполагает сумму бесконечного числа элементов. Этот парадокс являл собою некую логическую трудность, состоящую в том, что в качестве условия решения задачи — достижения некоторой точки — выдвигается предварительное решение другой задачи, в точности подобной первой. Таким образом, число предварительных решений бесконечно.
— Мне кажется, — сказал Сократ, — что герой твоей апории “Дихотомия”, то есть деления на два, не сдвинется с места потому, что он устрашен неразрешимостью бесконечной регрессии.
— Пусть так, — легко согласился Зенон.
— Итак, — размышлял Сократ, — исходный отрезок, ну, хотя бы тот, что располагается между киоском с капустным рассолом и пьющим этот рассол Парменидом, состоит из бесконечно большого числа частей. Тогда можно предполагать две возможности. Первая — каждая из частей, полученных путем такого деления, обладает некоторым, пусть и ничтожно малым протяжением. Так как этих частей бесконечно много, то их общая сумма должна составить отрезок бесконечной длины. Вторая возможность — каждая из частей непротяженна, то есть ее длина равна нулю. Но сколько бы не было нулей, их сумма не может дать ничего, кроме нуля. Следовательно, общая длина отрезка, являющаяся суммой всех этих непротяженных частей, должна быть равна нулю. То есть и в том и в другом случае мы приходим к противоречию с исходным положением.
— С тобой приятно беседовать, Сократ, — сказал Зенон.
