Стратегические игры полностью

Предположим, вы озадачились вопросом, присоединяться к строительству оросительной системы или нет. Ваше решение будет зависеть от действий остальных (N — 1) фермеров, входящих в состав группы. В общем случае вам предстоит решить, когда из остальных (N — 1) фермеров n принимают участие в проекте, а (N — 1 — n) уклоняются от него. Если вы тоже намерены уклониться, количество участников проекта по-прежнему будет равно n, а значит, вы получите выигрыш S(n). Если предпочтете участвовать, количество участников составит n + 1 и вы получите выигрыш P(n + 1). Следовательно, ваш окончательный выбор зависит от сравнения этих двух выигрышей: вы будете строить, если P(n + 1) > S(n), и откажетесь, если P(n + 1) < S(n). Это сравнение применимо ко всем версиям коллективной игры, проанализированным в разделе 1; различия в поведении игроков в разных версиях возникают из-за изменений значений P(n + 1) и S(n) в связи с изменением структуры выигрышей.

Мы можем соотнести примеры игр с двумя участниками из раздела 1 с этой обобщенной схемой. Если в игре только два игрока, то P(2) — это выигрыш одного фермера от реализации проекта, когда другой тоже в нем участвует, а S(1) — выигрыш фермера, уклоняющегося от участия, если другой фермер строит оросительную систему, и т. д. Таким образом, мы можем обобщить таблицы выигрышей на рис. 11.1–11.4, представив их в алгебраической форме. Общая структура выигрышей показана на рис. 11.5.

Рис. 11.5. Общая форма игры с коллективным действием с двумя участниками

Игра, отображенная на рис. 11.5, — это дилемма заключенных, если одновременно выполняются следующие неравенства:

Согласно первому неравенству, наилучший ответ на стратегию «строить» — «не строить», согласно второму — наилучший ответ на стратегию «не строить» также «не строить», а третьему — что для обоих игроков комбинация стратегий «строить»/«строить» предпочтительнее комбинации «не строить» / «не строить». Это дилемма типа I, если 2P(2) > P(1) + S(1), а значит, общий выигрыш больше, когда оба фермера решают строить, чем когда строительством занимается только один. Вы можете составить аналогичные неравенства, описывающие выигрыши, которые обеспечивают другие типы игр, представленные в разделе 1.

Теперь вернемся к версии игры с участием n игроков. Воспользовавшись функциями выигрышей в случае двух действий, P(n + 1) и S(n), мы можем построить графики, которые помогут нам определить, с каким типом игры мы имеем дело, а также найти в ней равновесие Нэша, которое затем сможем сравнить с социально оптимальным исходом игры.

Рассмотрим конкретную версию игры со строительством оросительной системы, в которой 100 фермеров из одной деревни решают, какое действие предпринять. Допустим, реализация ирригационного проекта позволит повысить продуктивность земельных угодий каждого фермера пропорционально масштабу проекта; в частности, предположим, что выгода каждого фермера при участии n человек в строительстве составляет P(n) = 2n. Представим также, что, если вы не участвуете в проекте, у вас все равно есть возможность воспользоваться его преимуществами, а сэкономленное время потратить на что-то другое, чтобы заработать еще 4, то есть S(n) = 2n + 4. Не забывайте, что ваше решение об участии в проекте зависит от относительной величины P(n + 1) = 2(n + 1) и S(n) = 2n + 4. Два отдельных графика этих функций для каждого отдельного фермера показаны на рис. 11.6, где значения n от 0 до (N — 1) отображены на горизонтальной оси, а на вертикальной — выгода фермера. Если в данный момент в проекте участвует не так много фермеров (а значит, большинство из них уклонились), ваш выбор будет зависеть от относительного положения P(n + 1) и S(n) с правой стороны графика.

Рис. 11.6. График выигрышей в дилемме заключенных со многими участниками

Поскольку на самом деле n принимает только целые значения, технически каждая из функций P(n + 1) и S(n) состоит из дискретного множества точек, а не из непрерывного множества, как подразумевают сглаженные линии на рисунке. Но при большом значении N эти дискретные точки находятся достаточно близко друг от друга, поэтому мы можем их соединить и представить каждую функцию выигрыша в виде непрерывной линии. Кроме того, мы также используем в этом разделе линейные функции P(n + 1) и S(n), для того чтобы сформулировать основные идеи, а более сложные возможности обсудим чуть позже.