Напомним, что вы определяете свой выбор с учетом количества текущих участников проекта n и выигрышей, связанных с каждым действием при таком значении n. На рис. 11.6 проиллюстрирован случай, когда линия S(n) находится полностью над линией P(n + 1). Следовательно, каким бы ни было число других участников (то есть каким бы большим ни было значение n), если вы откажетесь от проекта, ваш выигрыш будет выше, чем в случае согласия. Стало быть, отказ от участия в проекте — ваша доминирующая стратегия. У всех игроков одинаковые выигрыши, а значит, отказ от участия в проекте — доминирующая стратегия каждого игрока. Таким образом, равновесие Нэша в этой игре подразумевает, что все игроки станут уклоняться и оросительная система так и не будет построена.
Обратите внимание, что обе линии поднимаются по мере увеличения n. Какое бы действие вы ни выбрали, вам выгодно, чтобы в проекте участвовало больше фермеров. Левая точка пересечения линии S(n) с вертикальной осью находится ниже правой точки пересечения линии P(n + 1), то есть S(0) = 4 < P(N) = 102. Это говорит о том, что, если все фермеры (в том числе и вы) откажутся от строительства, выигрыш каждого из них (в том числе ваш) будет меньше, чем в случае согласия. Все фермеры добились бы более весомых результатов, чем при равновесии Нэша, если бы можно было обеспечить исход, при котором каждый из них участвует в проекте. Это и делает игру дилеммой заключенных.
Чем равновесие Нэша, найденное с помощью графика на рис. 11.6, отличается от социального оптимума в этой игре? Для того чтобы ответить на данный вопрос, понадобится способ описать общий социальный выигрыш при каждом значении n; мы сделаем это с помощью функций выигрышей P(n) и S(n), чтобы построить третью функцию T(n), отображающую общий выигрыш для общества от проекта с n участниками как функцию n. Он состоит из значения P(n) для каждого из n участников проекта и значения S(n) для каждого из (N — n) тех, кто отказался от участия:
T(n) = nP(n) + (N — n)S(n).
Социальный оптимум наблюдается в случае, когда соотношение между участниками проекта и отказавшимися от него максимизирует общий выигрыш T(n), или при таком количестве участников проекта (то есть при таком значении n), которое максимизирует T(n). Для того чтобы лучше понять, каким может быть этот показатель, удобнее записать T(n) иначе, преобразовав представленное выше выражение в такое равенство:
T(n) = NS(n) — n[S(n) — P(n)].
Этот вариант функции общего социального выигрыша показывает, что мы можем его вычислить, если дадим каждому из N человек выигрыш уклонившегося от строительства, а затем отнимем дополнительную выгоду [S(n) — P(n)] отказавшихся у каждого из n участников проекта.
В играх с коллективным действием, в отличие от игр с распределением общих ресурсов, мы обычно ожидаем, что значение S(n) будет расти по мере увеличения n. Следовательно, значение первого члена выражения, NS(n), также возрастает при увеличении n. Если второй член выражения не увеличивается слишком быстро при увеличении n (как было бы, если бы дополнительная выгода [S(n) — P(n)] человека, отказавшегося от участия в проекте, представляла собой небольшую и постоянную величину), то эффект первого члена доминирует в определении значения T(n).
Именно это происходит с функцией общего социального выигрыша в нашем примере с сотней фермеров. Здесь T(n) = nP(n) + (N — n)S(n) преобразуется в T(n) = n(2n) + (100 — n)(2n + 4) = 2n2 + 200n — 2n2 + 400 — 4n = 400 + 196n. В данном случае T(n) постепенно увеличивается вместе с n и достигает максимального значения при n = N, когда никто не уклоняется от участия в проекте.
Версия игры с большой группой участников позволяет сделать тот же вывод, что и раньше. Группа фермеров в целом выиграла бы, если бы все фермеры строили оросительную систему, то есть если n = N. Но структура выигрышей такова, что у каждого фермера есть стимул уклониться от этого. Равновесие Нэша в игре (при n = 0) не будет социально оптимальным. Поиск способов достижения социального оптимума — один из важнейших вопросов в области изучения коллективного действия; мы вернемся к нему ниже в данной главе.
