Есть множество других интересных для изучения систем с двумя состояниями, и первая, о которой мы бы хотели поговорить, — это фотон. Чтобы описать фотон, нужно сначала задать вектор его импульса. У свободного фотона импульс определяет и частоту, так что указывать особо частоту не придется. Но еще остается одно свойство, именуемое поляризацией. Представьте себе фотон, приходящий к вам с определенной монохроматической частотой (которую во всем нашем обсуждении мы будем считать постоянной, так что можно не говорить о множестве состояний импульса).Тогда существуют два направления поляризации. По классической теории свет обладает, например, либо горизонтально колеблющимся электрическим полем, либо вертикально колеблющимся электрическим полем; этот свет двух сортов называют x-поляризованным и y-поляризованным светом. У света может быть и какое-то иное направление поляризации, его можно создать суперпозицией полей в направлении x и в направлении у. Или, взяв х- и y-компоненты со сдвигом фаз в 90°, получить вращающееся электрическое поле — свет будет поляризован эллиптически. [Это краткое напоминание классической теории поляризованного света, которую мы изучали в гл. 33 (вып. 3).]
Пусть теперь у нас есть одиночный фотон, всего один. Уже нет электрического поля, которое можно было бы рассматривать прежним способом. Один-единственный фотон и ничего больше. Но он тоже должен обладать аналогом классического явления поляризации. Значит, должны существовать по крайней мере два разных сорта фотонов. Сперва могло бы показаться, что их должно быть бесконечное множество, ведь, как бы то ни было, электрический вектор может быть направлен в любую сторону. Однако поляризацию фотона можно описать как систему с двумя состояниями. Фотон может быть либо в состоянии |х>, либо в состоянии |у>. Под |х> подразумевается состояние поляризации каждого из фотонов в пучке света, который классически x-поляризован. А |у> означает состояние поляризации каждого из фотонов в y-поляризованном пучке. Эти |х> и |у> вы можете выбрать в качестве базисных состояний фотона с данным направленным на вас импульсом — импульсом в направлении z. Итак, существуют два базисных состояния |x> и |y>, и их вполне хватает, чтобы описать всякий фотон.
К примеру, если у нас есть поляроид, ось которого расположена так, чтобы пропускать свет, поляризованный в направлении, которое мы называем направлением х, и если мы направили туда фотон, который, как нам известно, находится в состоянии |у>, то он поглотится поляроидом. Если послать туда фотон, который, как нам известно, находится в состоянии |х>, он и выйдет в состоянии |x>. Когда мы берем кусок кальцита (исландского шпата), который расщепляет пучок поляризованного света на |x>-пучок и |y>-пучок, то этот кусок кальцита полностью аналогичен прибору Штерна—Герлаха, расщепляющему пучок атомов серебра на два состояния |+> и |->. Значит, все, что мы раньше делали с частицами и приборами Штерна—Герлаха, можно повторить со светом и кусками поляроида. А что можно сказать о свете, который отфильтрован куском поляроида, повернутым на угол θ? Другое ли это состояние? Да, действительно, это другое состояние. Обозначим ось поляроида х', чтобы отличать ее от осей наших базисных состояний (фиг. 9.2).
Фиг. 9.2. Оси координат, перпендикулярные к вектору импульса фотона.
Выходящий наружу фотон будет в состоянии |х'>. Но всякое состояние может быть представлено в виде линейной комбинации базисных состояний, а формула для такой комбинации известна:
(9.33)
Иначе говоря, если фотон пройдет сквозь кусок поляроида, повернутого на угол θ (по отношению к х), он все равно может быть разрешен на |x>- и |y>-пучки (например, куском кальцита). Или, если угодно, вы можете в своем воображении просто разбить его на х- и y-компоненты. Любым путем вы получите амплитуду cosθ быть в |х>-состоянии и амплитуду sinθ быть в |y>-состоянии.
Теперь поставим такой вопрос: пусть фотон поляризован в направлении х' куском поляроида, повернутого на угол θ, и пусть он попадет в другой поляроид, повернутый на угол нуль (фиг. 9.3).
Фиг. 9.3. Две поляроидные пластины с углом θ между плоскостями поляризации.
Что тогда произойдет? С какой вероятностью он пройдет сквозь поляроид? Ответ: Пройдя первый поляроид, фотон наверняка оказывается в состоянии |х'>. Через второй поляроид он протиснется лишь в том случае, если будет в состоянии |x> (и поглотится им, оказавшись в состоянии |у>). Значит, мы спрашиваем, с какой вероятностью фотон окажется в состоянии |x>? Эту вероятность мы получим из квадрата модуля амплитуды , амплитуды того, что фотон в состоянии |х'> находится также и в состоянии |x>. Чему равно <x|x'>? Умножив (9.33) на <x|, получим
