Том 3. Квантовая механика полностью

Но <x|y>=0; это следует из физики, так должно быть, если |х> и |у> суть базисные состояния, а <x|x>=1. И мы получаем

а вероятность равна cos²θ. Например, если первый поляроид поставлен под углом 30°, то ³/₄ времени фотон будет проходить через него, а ¹/₄ времени будет нагревать поляроид, поглощаясь внутри него.

Посмотрим теперь, что в такой же ситуации происходит с точки зрения классической физики. Там мы имели бы пучок света, электрическое поле которого меняется тем или иным образом, — скажем «неполяризованный» пучок. После того как он прошел бы через первый поляроид, электрическое поле величины ℰ начало бы колебаться в направлении х' ; мы бы начертили его в виде колеблющегося вектора с пиковым значением ℰ₀ на диаграмме фиг. 9.4.

Фиг. 9.4. Классическая картина электрического вектора ℰ.

Если бы затем свет достиг второго поляроида, то через него прошла бы только x-компонента ℰ₀cosθ электрического поля. Интенсивность была бы пропорциональна квадрату поля, т. е. ℰ₀²cos²θ. Значит, проходящая сквозь последний поляроид энергия была бы в cos²θ слабее энергии, поступающей в него.

И классическая, и квантовая картины приводят к одинаковым результатам. Если бы вы бросили на второй поляроид 10 миллиардов фотонов, а средняя вероятность прохождения каждого из них была бы, скажем, ³/₄, то следовало бы ожидать, что сквозь него пройдет ³/₄ от 10 миллиардов. Равным образом и энергия, которую они унесли бы, составила бы ³/₄ той энергии, которую вам хотелось протолкнуть через поляроид. Классическая теория ничего не говорит о статистике этих вещей, она попросту утверждает, что энергия, которая пройдет насквозь, в точности равна ³/₄ той энергии, которая была пущена в поляроид. Это, конечно, немыслимо, если фотон только один. Не бывает ³/₄ фотона. Либо он весь здесь, либо его вовсе нет. И квантовая механика говорит нам, что он бывает весь здесь ³/₄ времени. Связь обеих теорий ясна.

А как же с другими сортами поляризации? Скажем, с правой круговой поляризацией? В классической теории компоненты х и у правой круговой поляризации были равны, но сдвинуты по фазе на 90°. В квантовой теории фотон, поляризованный по кругу вправо («правый»), обладает равными амплитудами быть |х>- и |у>-поляризованным, и эти амплитуды сдвинуты по фазе на 90°. Обозначая состояние «правого» фотона через |П>, а состояние «левого» фотона через |Л>, можно написать [см. гл. 33, § 1 (вып. 3)]

(9.34)

множитель 1/√2 поставлен, чтобы нормировать состояния. С помощью этих состояний можно подсчитывать любые эффекты, связанные с фильтрами или интерференцией, применяя законы квантовой теории. При желании можно также выбрать в качестве базисных состояний |П> и |Л> и все представлять через них. Надо только предварительно убедиться, что <П|Л>=0, а это можно сделать, взяв сопряженный вид первого уравнения [см. (6.13)] и перемножив их друг с другом. Можно раскладывать свет, пользуясь в качестве базиса и х-, и y-поляризациями, и х'-, и y'-поляризациями, а можно—и правой, и левой поляризациями.

Попробуйте (просто для упражнения) обратить наши формулы. Можно ли представить состояние |х> в виде линейной комбинации правого и левого? Да, вот ответ:

(9.35)

Доказательство: сложите и вычтите два уравнения в (9.34). От одного базиса к другому очень легко переходить.

Впрочем, одно замечание надо бы сделать. Если фотон поляризован по правому кругу, он не имеет никакого касательства к осям х и у. Если бы мы взглянули на него из системы координат, повернутой вокруг направления полета на какой-то угол, то свет по-прежнему был бы поляризован по кругу; то же с левой поляризацией. Право- и левополяризованный по кругу свет при любом таком повороте одинаков; определение не зависит от выбора направления х (если не считать того, что направление фотона задано). Великолепно, не так ли? Для определения не нужны никакие оси. Куда лучше, чем х и у! Но, с другой стороны, не чудо ли, что, складывая левое и правое, вы в состоянии узнать, где было направление x? Если «правое» и «левое» никак не зависят от х, как же получается, что мы можем сложить их и вновь получить x? На этот вопрос можно частью ответить, расписав состояние |П'>, представляющее фотон, правополяризованный в системе координат х', у'. В этой системе мы бы написали

Как же будет выглядеть такое состояние в системе х, у? Подставим |х'> из (9.33) и соответствующее |у'>; мы его не выписывали, но оно равно (-sinθ)|x>+(cosθ)|y>. Тогда

Первый множитель — это просто |П>, а второй е^-iθ ; итог таков:

(9.36)

Состояния |П'> и |П> отличаются только фазовым множителем е^-iθ. Если подсчитать такую же вещь для |Л'>, мы получим[30]

(9.37)