Георг Кантор сильно похудел, пальто тяжело свисало с немощного тела. Лицо стало невыразительным. Когда-то он был яркой и внушительной фигурой, которой придавали силу интеллект и стремление к собственной математической мечте. Однако на последней сохранившейся фотографии, сделанной в Галле в 1917 году, это незаметно. К тому времени уже три долгих года бушевала Первая мировая война, немецкий народ голодал. В стране был неурожай, а военные корабли союзников не давали импортировать продовольствие. Некоторым немцам удавалось пополнять свой рацион за счет сельского хозяйства или черного рынка. Но не Кантору. После маниакальной депрессии его поместили в психиатрическую клинику — Nervenklinik в Галле. Поскольку продовольственные пайки в немецких учреждениях составляли вдвое меньше нормы, а уровень смертности удвоился, он постоянно писал жене, умоляя забрать его домой. Она не могла исполнить это желание, и 6 января 1918 года Георг Кантор, ослабленный недоеданием, умер от сердечного приступа.
Последние годы Кантора были осложнены психическими заболеваниями, личной трагедией и профессиональным истощением. Но, несмотря на пережитые падения, он поднялся выше всех. Он осмелился вообразить невообразимое, достигнув небес, чтобы посмотреть на небесные числа — бесконечности. Кантор увидел не только бесконечность на краю царства конечных чисел, но и более высокие, находящиеся далеко за пределами земного понимания. Благодаря его идеям мы теперь знаем, что существуют бесконечности, которые настолько велики, что математически
Чаще всего бесконечность изображается в виде «пьяной» восьмерки ∞, лежащей на боку после того, как перебрала. Этот символ ввел в 1655 году англичанин Джон Валлис; иногда его называют лемнискатой, что означает «ленты»[152]. Но эта конкретная бесконечность — не число, она представляет собой
Начнем с нескольких вопросов.
Знаете ли вы, что четных чисел столько же, сколько целых?
Знаете ли вы, что между нулем и единицей столько же действительных чисел, сколько между нулем и TREE(3)?
И знаете ли вы, что на окружности столько же точек, сколько в круге внутри ее?
Когда речь идет о бесконечности, интуитивная ясность редка. Это, безусловно, справедливо по отношению к отелю Гильберта, названному в честь великого немецкого математика Давида Гильберта, который предложил эту идею более века назад. В отеле Гильберта есть бесконечное количество номеров, а это означает, что, даже когда он полон, управляющий может принять столько новых гостей, сколько ему понадобится. Чтобы понять, как он это делает, пронумеруем комнаты: 1, 2, 3 и так далее до бесконечности. Когда появляется новый гость, управляющему нужно всего лишь переместить всех жильцов отеля в комнату со следующим номером: семья из комнаты номер 1 переезжает в комнату номер 2, пара из комнаты 2 переезжает в комнату 3, бизнесмен из комнаты 3 переезжает в комнату 4 и т. д. Из-за бесконечности числа комнат этот процесс никогда не прервется, все старые жильцы останутся в отеле, а новый гость может поселиться в комнату 1, которая освободилась в начале этой цепочки. Управляющий не станет паниковать, даже если столкнется с бесконечным количеством новых гостей. Он просто переведет всех в комнаты с удвоенным номером. Старые посетители теперь занимают комнаты с четными номерами, а комнаты с нечетными освободились для новых гостей. В отеле Гильберта всегда есть места.
По собственному признанию, Давид Гильберт был «скучным и глупым мальчиком», который не производил впечатления в школе; однако он стал одним из самых влиятельных мыслителей в новейшей истории. Его работы легли в основу большей части современной математики и физики — от логики и теории доказательств до теории относительности и квантовой механики. Но, возможно, больше всего он известен благодаря опубликованному им в 1900 году списку из двадцати трех нерешенных математических задач, который оказал огромное влияние на исследования последнего столетия. Первая из задач, гипотеза континуума, — это проблема бесконечности, первоначально предложенная Кантором. На сегодня только восемь задач Гильберта имеют решения, которые полностью приняты математическим сообществом. Как мы увидим позже, гипотеза континуума в их число не входит.
