Первые письменные упоминания о бесконечности восходят к VI веку до нашей эры — к Древней Греции и философским трудам Анаксимандра. Анаксимандр — представитель милетской школы, который, возможно, обучал Пифагора[154]. Хотя большая часть его трудов с годами была утеряна, в нескольких сохранившихся фрагментах он говорит о бесконечности как об апейроне. Слово апейрон (ἄπειρον) буквально переводится как «бесконечное, беспредельное». Анаксимандр пытался понять происхождение всех вещей. Он представлял себе апейрон бесконечным и неистощимым супом, из которого все рождается и куда возвращается после окончательного разрушения. Для древних греков это казалось не красотой, а хаосом. Это были не небеса, а бездна.
Бесконечность и ее бесконечно малый родственник лежат в основе парадоксов Зенона Элейского. Возможно, вы помните Зенона — философа, организовавшего заговор против тиранического правления Неарха. Его схватили и убили, но он успел откусить часть тирана, которого отчаянно пытался свергнуть. В главе «Ноль» мы обсуждали парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе, когда быстроногий воин не может обогнать медленно двигающуюся рептилию. В другом парадоксе, так называемой дихотомии, Зенон задает очень простой вопрос: как вы вообще пересекаете комнату? На первый взгляд вопрос кажется абсурдным, но философ предложил рассуждение, бросающее вызов нашим повседневным иллюзиям. Представьте то место, где вы сидите и читаете эту книгу. Чтобы выйти из комнаты, вы должны сначала достичь середины пути от вас до двери. Но чтобы пройти половину пути, вы должны сначала пройти четверть пути; чтобы добраться до четверти, вам нужно сначала преодолеть одну восьмую часть пути. Вы можете продолжать эту последовательность до бесконечности, пока, подобно Зенону, не начнете верить, что движение невозможно.
Этот парадокс демонстрирует тонкое различие между бесконечно малым числом и нулем. Трюк Зенона породил последовательность рациональных чисел: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16…
Возьмите любое сколь угодно малое положительное число. Если мы достаточно далеко продвинемся по последовательности Зенона, то за конечное число шагов сможем добраться до еще меньшего числа. Однако на самом деле мы никогда не достигнем нуля, как уверяет нас Зенон. Ноль — это предел этой последовательности, но не ее часть. Как размышлял Аристотель столетие спустя, мы можем осознать потенциальную возможность для реализации бесконечного количества шагов, но никогда не сможем реализовать их на самом деле. Он считал, что бесконечность можно держать в уме, но не в руке. Согласно Аристотелю и его последователям, потенциальная бесконечность была реальной, а актуальная — нет.
Так получилось, что древние греки не питали особого интереса к апейрону. Когда Платон описывал наивысшую идею Блага, он объявил его конечным и определенным, не запятнанным хаосом бесконечности. Но по мере того, как греки начали терять свое интеллектуальное превосходство, бесконечность стала развиваться. В начале III века античный философ Плотин связал бесконечность с высшей сущностью, которую он назвал Единым. Единое понималось как нечто, находящееся за пределами деления и умножения, как божественная бесконечность, существующая без предела. Спустя два века эта идея резонировала с мыслями святого Августина о христианском Боге. К тому времени мощь Рима рухнула, и многие винили в этом обращение к новой религии. Августину поручили написать несколько книг, пропагандирующих христианство и доказывающих его превосходство над старой римской идеологией. Именно в этих книгах он коснулся бесконечности, сделав вывод о ее существовании в разуме Бога. Августин осознавал, что у чисел не может быть предела, ведь если бы мы объявили, что существует какое-то наибольшее число, то к нему всегда можно добавить единицу. Поскольку не может существовать число, о котором Бог бы не знал, он должен знать все числа. Он способен мыслить о бесконечности.
Связь между Богом и бесконечностью можно найти во многих других религиозных контекстах. Например, в еврейском мистицизме каббалисты говорили о десяти сфирот и лежащем в их основе Эйн Соф. Все сфирот представляли отдельные аспекты божественного тела, а Эйн Соф было чем-то большим, бесконечным Богом, не поддающимся описанию и пониманию. Точно так же в индуизме бога Вишну иногда называют Ананта: это санскритское слово означает «бескрайний» или «беспредельный». Также это слово может означать бесконечность.
