Удивительные числа Вселенной полностью

Вот более количественный пример: в английской Премьер-лиге играют двадцать футбольных команд, которые в ходе сезона проводят с каждым из соперников по одному матчу дома и на выезде. В общей сложности получаем 20 × 19 = 380 матчей за сезон, каждый заканчивается одним из трех возможных исходов: победа дома, победа на выезде или ничья. Это означает, что существует 3380 разных вариантов футбольных сезонов. Однако многие из них приведут к одинаковой турнирной таблице, если нас интересует только количество очков, набранных чемпионами, занявшими второе место, и т. д. Мы можем думать о различных исходах как о микросостояниях и для любой итоговой таблицы подсчитать все способы, которые приводят к одному и тому же распределению очков. Это дало бы нам меру энтропии для Премьер-лиги.

Математика Премьер-лиги с двадцатью командами слишком сложна, чтобы разобраться в ней во всех подробностях, поэтому сократим число команд и представим урезанную лигу, в которой всего два соперника: «Ливерпуль» и «Манчестер Юнайтед». Ради математической простоты мы уберем все остальные команды, включая «Эвертон», «Арсенал», «Тоттенхэм Хотспур» и даже живущий на нефтяные деньги «Манчестер Сити». В сезоне такой ужатой Премьер-лиги состоятся всего две игры, а значит, возможны всего девять разных исходов. Если нас не беспокоит вопрос, кто на первом месте, а кто на втором, разные результаты матчей могут привести к одинаковой турнирной таблице. Поскольку за победу начисляется три очка, за ничью — одно, а за поражение — ноль, девять возможных исходов дадут четыре разные турнирные таблицы, как показано на следующем рисунке.

Посмотрим на таблицу A, где чемпион набирает шесть очков, а команда, занявшая второе место, не получает ни одного. Это можно реализовать двумя способами: «Ливерпуль» выиграет оба матча или проиграет оба. Иными словами, есть два разных микросостояния, которые дадут одну и ту же турнирную таблицу. Такой подсчет дает нам меру энтропии для таблицы А. Или, точнее, ее дает нам натуральный логарифм числа состояний.

Мне нужно быстренько объяснить, что такое логарифм. Логарифм числа X по основанию a (обозначается log_aX) — такое число b, что a^b = X, то есть степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получилось X. Например, если мы возьмем основание 10, то логарифм 100 по основанию 10 равен 2, поскольку 10² = 100, и мы можем написать log₁₀100 = 2. Если в качестве основания логарифма берут число Эйлера e ≈ 2,71828, то обычно используют обозначение ln и говорят о натуральных логарифмах. Например, lne² = 2, lne³ = 3, lne^0,12 = 0,12 и т. д. Натуральные логарифмы в науке используют гораздо чаще, чем десятичные.

Больцман предложил формулу для энтропии, использующую натуральный логарифм: S = lnW, где W — количество соответствующих микросостояний или количество способов. Вернемся к сокращенной Премьер-лиге. Энтропия таблиц A и C равна ln2 ≈ 0,693, энтропия таблицы B составляет ln4 ≈ 1,386, а энтропия таблицы D равна нулю (поскольку ln1 = 0). Точно так же мы считаем состояния и энтропию, когда говорим о яйцах или динозаврах. Единственная разница заключается в используемых числах. Количество микросостояний, которые могли бы описать съеденное на завтрак яйцо (или динозавра!), крайне велико; там понадобятся гуголы, в отличие от чисел 1, 2 и 4, которые обнаружились у нас для результатов двух команд в Премьер-лиге.

Итак, у нас определена энтропия для Премьер-лиги. Как увидеть ее вероятное увеличение со временем? Это довольно легко. Представьте, что сезон закончился таблицей А и, соответственно, энтропией ln2. Что произойдет в следующем сезоне? Если отдельные исходы матчей равновероятны, то с вероятностью ⁴/₉ энтропия останется на том же уровне ln2 (это случится, если в следующем сезоне реализуется таблица A или таблица C), с вероятностью ⁴/₉ энтропия увеличится до ln4 (если после сезона получится турнирная таблица B) и с вероятностью ¹/₃ она упадет до нуля (если получится таблица D). Таким образом, даже в нашем небольшом примере энтропия с большей вероятностью будет расти, чем падать.

Когда мы изменим числа до гугольных масштабов, необходимых для учета количества атомов в яйце или динозавре, эти преобладающие вероятности станут подавляющими. Увеличение энтропии уже не просто вероятно, а неизбежно. Представьте кубик льда при комнатной температуре. Эта система описывается микросостояниями для льда и со временем будет переходить в другие возможные микросостояния. Система совершает несколько микроскопических скачков между различными состояниями, и никто не удивится, обнаружив, что в итоге появится лужа. Есть небольшие шансы, что кубик останется льдом, но они ничтожны. При комнатной температуре мы получаем небольшое количество возможных ледяных микросостояний по сравнению с большим количеством водяных, а это просто означает, что лед с большой вероятностью растает.