Удивительные числа Вселенной полностью

У меня этот орнамент вызывает в воображении образ летучих мышей, танцующих тройками на фоне звездного неба. Однако настоящая красота — в его симметрии. Двигаясь слева направо или по диагонали, вы можете заметить, что он обладает трансляционной симметрией. На рисунке также полно тройных поворотов. Например, если вы сделаете треть оборота — повернете орнамент на 120 градусов вокруг центра любой звезды, — изображение не изменится. То же можно сделать с центром одного из белых шестиугольников или даже с точкой, где соприкасаются три мышиных крыла. Другими словами, у вас есть тройка из тройных поворотов, а также два параллельных переноса. Такую комбинацию симметрий математики называют группой p3. В честь летучих мышей Альгамбры назовем ее «вальс втроем».

Другие орнаменты могут содержать те же симметрии, что и «вальс втроем», но могут обладать и другими, и это сделает орнамент иным с математической точки зрения. Группируя различными способами вращения, отражения, переносы и скольжения, мы можем легко представить бесконечную Альгамбру математически различных узоров, бесконечное количество двориков, каждый из которых имеет рисунок с собственной группой симметрии. Различные группы, которые характеризуют эти орнаменты, по понятным причинам называются группами орнамента. Но вот неожиданный факт: исламские художники воспроизводили только семнадцать узоров. Это не особо похоже на бесконечность. На самом деле, если мы поищем по всем культурам, окажется, что никто и никогда не рисовал ничего сверх этих семнадцати орнаментов. На первый взгляд это странно. В конце концов, можно вообразить огромное количество различных способов соединять повороты, отражения, переносы и скольжения, поэтому вроде бы нужно ожидать, что количество групп орнаментов будет очень велико, а возможно, и бесконечно. Почему выдающиеся мастера изображали только семнадцать из них? Причина точно не в отсутствии воображения. Оказывается, у нашей математической красоты есть ограничения. Из-за необходимости повторять орнамент существует только семнадцать различных комбинаций, которые можно сшить в узор нужным образом. Это можно доказать с помощью так называемой магической теоремы математики[85]. Похоже, мусульманским художникам хватило изобретательности, чтобы запечатлеть абсолютно все орнаменты, которые могут существовать.

Это говорит нам о том, что симметрии — действительно особенные штуки. Они не просто разрешают какой-то старинный орнамент, и это справедливо и для искусства Альгамбры, и для космического искусства нашей неожиданной Вселенной. Если обнаруживается нечто особенное или неожиданное, то, скорее всего, виновата симметрия. Поскольку она становится ключом к разгадке тайн Вселенной, нам, вероятно, следует разобраться, что такое симметрия на самом деле. Когда я спросил свою старшую дочку, что ей приходит в голову при слове «симметрия», она ответила: «Квадрат». Я подумал, что это очень хороший ответ. В конце концов, у квадрата имеется какая-то четко определенная математическая красота. Если вы повернете его на девяносто градусов вокруг центра, он будет выглядеть точно так же. Он не изменится, если вы повернете его по диагонали или по прямой, проходящей через центры двух противоположных сторон. Именно это мы в реальности и подразумеваем под симметрией: вы воздействуете на объект каким-то нетривиальным образом, но это действие оставляет его неизменным. Например, для человеческого лица это действие заключается в зеркальном отражении, и действительно красивое лицо останется неизменным. Для плиток, изображающих танцующих летучих мышей в Альгамбре, такими действиями становятся параллельные переносы и тройные повороты.

А как же ноль? Существует ли действие, которое оставляет его без изменений? Если вы собираетесь думать о нуле как о вещественном числе, то одно из возможных действий в вашем распоряжении — смена знака. Иными словами, вы превращаете пять в минус пять, минус TREE(3) — в TREE(3) и т. д. Смена знака обычно переносит вас в другое место на числовой прямой, и единственное исключение — ноль. Когда вы меняете знак нуля, вы остаетесь в нуле. Иными словами, ноль — единственное вещественное число, симметричное относительно смены знака. Вы можете распространить эту идею на комплексные числа. Теперь вы можете утверждать, что ноль — единственное комплексное число, которое остается на месте при изменении аргумента[86]. Конечно, связь между нулем и симметрией гораздо глубже, чем несколько математических уловок. Как мы увидим, неожиданное появление нуля — способ природы сообщить вам, что в ткани нашего физического мира существует некая симметрия. И поскольку в симметрии есть красота, это должно означать, что красота заключается в нуле.

Так и есть.