Значительная часть книги Фибоначчи посвящена математике торговли, использующей восточные алгоритмы для расчета прибыли и процентов или конвертации валют. Несмотря на очевидные преимущества, европейские торговцы не спешили брать на вооружение эти методы. Многие по-прежнему предпочитали работать с римскими цифрами, используя абак или счетную доску, на которой раскладывались бусины или камешки. Началось соперничество между
И власти, и обычные люди не доверяли этому таинственному заимствованию с Востока. В 1299 году во Флоренции индийские цифры были запрещены — во избежание мошенничества, ведь ноль можно легко изменить на шестерку или девятку. Однако запрет не остановил алгоритмистов. Они продолжали использовать эти цифры в частном порядке, вызывая при расчетах дух аль-Хорезми. Сначала их считали безбожниками, которые тратят больше времени на свои алгоритмы, чем на молитву. Но, как всегда, выгода для торговли перевесила, и власть уступила. Ноль и остальные индийские цифры оказались слишком мощными инструментами, и игнорировать их не получилось. Они были обречены на успех.
Даже церковь, похоже, была готова к переменам. В XIII веке парижские епископы выпустили ряд осуждений — документов о различных еретических учениях, которые могли привести к отлучению ученых от церкви. Там оказались и тексты Аристотеля — человека, который когда-то вдохновлял своим доказательством существования Бога таких богословов, как святой Фома Аквинский. В идеях Аристотеля епископы начали усматривать вызов всемогуществу Бога, как и мусульмане несколькими веками ранее. В осуждении 1277 года епископ Этьен Тампье рассматривал вопрос о движении небес. Аристотель говорил, что их невозможно перемещать по прямой линии, поскольку такое движение оставляет вакуум, заполненный пустотой, которую он категорически отвергал. Для Тампье это была явная ересь. Бог может сделать все, что желает. Он может сдвинуть небеса, как ему угодно; он способен создать вакуум. Кто такой Аристотель, чтобы утверждать обратное?
Местами позиции Аристотеля в христианской философии оставались сильными, однако его влияние начало разрушаться. Если христиане могли принять пустоту, они могли принять и ноль. Однако долговременные перемены и принятие нуля осуществили не парижские епископы. Это сделали бухгалтеры.
Они изобрели двойную запись.
В каком-то смысле такое окончание истории нуля разочаровывает, однако именно так он в итоге и победил. Двойную бухгалтерию придумали для учета растущих сложностей в торговле. Самые старые сохранившиеся бухгалтерские книги с ее применением относятся к счетам казначейства Генуэзской республики (1340 год). Система была простой, но гениальной. В одной колонке вы подсчитываете свои активы, в другой — пассивы, и при правильном учете разница должна быть нулевой[98]. Эта система использовала сильные стороны алгоритмистов, располагавших положительные и отрицательные числа по обе стороны от выделенного нуля. В 1494 году отец бухгалтерии, францисканский монах Лука Пачоли, изложил этот метод в своем легендарном учебнике по практической математике. Он выразил числами все — дебет, кредит и даже нулевой баланс. Больше не было места для аргументированных споров. Ноль восторжествовал, но не в результате взрыва или насильственного ниспровержения религиозных идеалов, а в результате торговой уловки и потребности добиться баланса в бухгалтерских документах.
Что такое ноль? Наши предки говорили, что это пустота — проклятая на Западе из-за отсутствия Бога и благословляемая на Востоке из-за безмолвного совершенства. Возможно, вы скажете, что ноль — просто число вроде единицы, двойки или числа Грэма. Но тогда я вынужден спросить: что такое число? До того как древние шумеры высвободили числа, их всегда держали рядом с чем-то другим: пять хлебов, пять рыб, пять кувшинов масла. Прорыв произошел, когда шумеры определили общий признак у всех этих совокупностей: отдельное число пять. Связь между числами и вещами, которые они считают, разорвать трудно. Действительно ли пятерка, которая подсчитывает количество хлеба, — это та же самая пятерка, которая обозначает количество рыбы?
Этот вопрос действительно возник в конце XIX века, когда такие математики, как беспокойный немец Георг Кантор, начали думать о совокупностях объектов — о множествах. Как мы увидим в главе «Бесконечность», теория множеств выросла из религиозного стремления Кантора шагнуть в бесконечность, забраться высоко в бескрайние небеса. Однако первым использовать множества для размышлений об обычных числах — 0, 1, 2 и т. д. (такие числа мы обычно называем
