Мы можем продолжить: три — это множество, содержащее ноль, один и два; четыре — множество, содержащее ноль, один, два и три и т. д., пройдя весь путь, минуя по ходу числа TREE(3) и TREE(TREE(3)), сопоставляя каждое натуральное числу и его собственное характеристическое множество. Внутри динамики множеств Джон фон Нейман и Эрнст Цермело увидели основы чисел и арифметики. Ноль превратился в пустое множество — множество ничего. Он стал семенем, из которого мы вырастили дерево всех натуральных чисел.
В этой чудесной абстракции можно найти ноль, но существует ли он на самом деле? Здесь нет единого мнения. Платоники утверждают, что ноль существует, как и все другие числа, но только в абстрактном смысле, вне пространства и времени. Номиналисты более практичны. Они полагают, что числа существуют только для подсчета вещей, которые мы видим в реальном мире (хлебов, рыб, кувшинов с маслом), поэтому они отрицают существование выделенного числа. Фикционалисты вообще отрицают существование чисел! А вот я верю в числа. Я вижу ноль в абстракции пустого множества, а в пустом множестве — симметрию.
Почему? Объясню с помощью Ничто.
Нам нужно отличать ничто от Ничто. Ничто с прописной буквы — понятие абсолютное и гораздо более трудное для понимания. Мы не должны думать о нем как о том, что можно создать, убрав все вещи: яблоки, апельсины, молекулы воздуха или даже законы физики. Мы можем создать вакуум, но никогда не сможем создать Ничто. Истинное Ничто нельзя получить из чего-то, и оно не может потенциально быть чем-то. Вы ничего не можете с этим поделать. Если оно существует — хотя трудно понять, как это возможно, — мы должны быть от него отделены.
Однако сейчас нас интересует не это. Нас интересует более слабая форма — со строчной буквы «н». Это ничто не отделено от нас, мы можем достичь его, удаляя объекты; и именно так мы связываем его с симметрией нуля. Например, если у вас есть куча яблок, вы можете убирать их до тех пор, пока у вас не останется ни одного яблока. То же можно сделать с апельсинами, молекулами воздуха и даже костями динозавров. В этой более слабой форме ничто оказывается относительным, а не абсолютным. Однако для нас важно, что ноль яблок и ноль апельсинов неотличимы друг от друга. Каждый из них идентичен пустому множеству, которое и есть ничто. В некотором смысле можно сказать, что ноль — или ничто — остается неизменным, если вы меняете единицы измерения: ноль яблок, ноль апельсинов, ноль костей динозавров — мы не можем отличить их друг от друга. При нуле все вещи становятся равными. Иными словами, ноль — это симметрия: симметрия такого ничто.
Эта связь между нулем и симметрией больше, чем просто математика и философия. Она вплетена в ткань Вселенной, подкрепляя ее физические законы, распоряжаясь ударами и притяжением элементарных частиц. Как мы вскоре увидим, она становится причиной того, что энергия не создается и не уничтожается или что свет движется со скоростью света. Возможно, величайшее открытие XX века заключается в том, что наша Вселенная наполнена огромным количеством симметрии. Это Вселенная, наполненная нулем.
Когда весной 2020 года британское правительство объявило национальный локдаун для борьбы с распространением коронавируса, мы с женой по очереди занимались домашним обучением наших двух дочерей. Чаще всего мы игнорировали школьную программу и выбирали темы сами. Жена учила их создавать биосферу в домашних условиях, чтобы они узнавали об экосистемах, а я помогал им кодировать дурацкие компьютерные игры в среде «Скретч». Конечно, мы не могли слишком далеко отходить от учебной программы и время от времени просматривали присылаемые учителями материалы. Однажды мы с младшей дочкой начали изучать симметрии.
Я показывал ей различные фигуры и просил изобразить прямые, которые дают зеркальное отражение. Например, для квадрата требовалось указать диагонали и прямые, проходящие через центры противоположных сторон. Я решил спросить ее, не видит ли она какие-либо другие симметрии. В классе им рассказывали только про зеркальную, поэтому поначалу она затруднялась с ответом. После нескольких аккуратных подсказок она начала вращать квадрат вокруг центра и после четверти оборота (90 градусов) поняла, что квадрат выглядит точно так же, как и раньше. То же мы проделали с пятиугольниками, поворачивающимися на одну пятую оборота (72 градуса), и шестиугольниками, поворачивающимися на одну шестую оборота (60 градусов). В этот момент мои способности к рисованию начали истощаться, но дочка уже поняла идею. Все эти фигуры обладают особой вращательной симметрией, зависящей от угла поворота. Такие симметрии, наряду с зеркальными, становятся примерами
