За годы, прошедшие с момента опубликования Аппелем и Хакеном своего спорного доказательства, оно было подвергнуто независимой проверке. Другие математики нашли меньшие неизбежные множества приводимых конфигураций и более эффективные способы доказательства теоремы, но и по сей день все доказательства нуждаются в проверке на компьютере.
Пауль Эрдёш (1913–1996), знаменитый венгерский математик, известный своей эксцентричностью, говаривал о «Книге» — воображаемом томе, содержащем самые красивые и элегантные доказательства математических теорем. Сегодня дверь перед теоремой о четырех красках почти закрыта, но мы все еще ждем старомодной проверки с помощью карандаша и бумаги — пока что мы не видели доказательства, достойного войти в Книгу.
Приложения к главе
109. Twain (1894), 42–43.
110. May (1965).
111. Graves (1889), 423.
112. Там же.
113. Cayley (1878).
114. Quoted in Dudley (1992).
115. Gardner (1975b); Gardner (1988).
116. Baltzer (1885), цитируется по Coxeter (1959).
117. Там же.
118. Kempe (1879).
110. Quoted in Wilson (2002), 119.
120. Gardner (1995).
121. Appel and Haken (1977); Appel, Haken, and Koch (1977).
122. Hales (2005).
Первые важные понятия топологии были открыты в процессе изучения многогранников.
Допустим, вам задали вопрос: какие деревья меняют цвет и сбрасывают листья осенью? Сказав «клены», вы дали бы правильный ответ. Но всякий, кто ездил на машине по Пенсильванской глубинке в октябре, знает о раскрашенных в самые разные цвета дубах, березах и буках, возвышающихся посреди куч опавших листьев. Так что хотя ответ верный, он не содержит полного перечня таких деревьев. Можно ли сказать, что все деревья осенью меняют цвет? Нет. У сосен, елей и кедров нет листьев, им нечего сбрасывать. Чтобы высказать общее и при этом истинное утверждение, следует внимательно изучить различные деревья. Более полный ответ мог бы звучать так: листопадные деревья меняют цвет и сбрасывают листья осенью.
Для выпуклых многогранников имеет место соотношение V — E + F = 2. Это истинное утверждение. Мы знаем об этом из доказательств Эйлера, Лежандра, Коши и других. Однако мы знаем и то, что его можно усилить. Как заметил Пуансо, формула Эйлера справедлива не только для выпуклых многогранников, а, например, еще и для звездных. Математик Д. М. Я. Сомервилль (1879–1934) писал: «Выпуклость — это в какой-то мере акцидентальное свойство, выпуклый многогранник можно трансформировать, например путем сминания или вдавливания одной или нескольких вершин, в невыпуклый с точно такими конфигурационными характеристиками»124. Поэтому было бы неточностью и ненужным упрощением говорить, что только для выпуклых многогранников имеет место формула Эйлера. Эрнест де Жонкьер полагал, что, «ссылаясь на Лежандра и других высоких авторитетов, мы лишь способствуем широкому распространению предрассудка, от которого не свободны даже лучшие умы: будто теорема Эйлера верна только для выпуклых многогранников»125.
Можно ли зайти настолько далеко, чтобы утверждать, что все многогранники эйлеровы? Нет, как существуют деревья, не меняющие цвета осенью, так существуют и многогранники, не удовлетворяющие формуле Эйлера. Мы хотели бы установить, какими точно свойствами должен обладать многогранник, чтобы для него выполнялась формула Эйлера. Минералог Иоганн Фридрих Кристиан Гессель (1796–1872), с которым мы вскоре познакомимся, называл такие многогранники
В главе 2 мы говорили, что математики работали с многогранниками много столетий, не имея надлежащего определения. Все было хорошо, пока они предполагали (почти всегда неявно) выпуклость, но стоило им заявить, что какое-то утверждение справедливо для всех многогранников, как они обычно попадали впросак. Необходимость в строгом определении многогранника была осознана в начале XIX века.
Первым, кто занялся тщательным изучением того, какие многогранники удовлетворяют формуле Эйлера, был Симон Антуан Жан Люилье (1750–1840). Быть может, Люилье самой судьбой было предначертано поработать с формулой Эйлера. Как и Эйлер, Люилье был швейцарцем, а родился он в тот год, когда Эйлер открыл свою формулу для многогранников. Но самое забавное, что слово «l'huilier» буквально переводится как «масленка» или «тот, кто смазывает», поэтому Люилье можно было бы назвать «The Oiler» — так же, как фамилия Эйлер звучит по-немецки. Как и Эйлер, Люилье отказался от церковной карьеры, соблазнившись математикой. Когда Люилье был еще юношей, один из его родственников пообещал оставить ему часть своего состояния, если он изберет духовную стезю. Но вместо того чтобы принять это щедрое предложение, Люилье решил стать математиком.
