С помощью простоты, рода и раскрашиваемости мы смогли различить все наши узлы, кроме печати Соломона и пряничного человечка. Оба узла простые, рода 2 и нераскрашиваемые. Чтобы доказать, что они все же различаются, нам нужен еще один инвариант:
Рис. 18.13. Трилистник раскрашиваемый, а восьмерка — нет
Числом пересечений узла называется наименьшее число пересечений во всех его проекциях. Будем обозначать c(K) число пересечений узла K. В обычной проекции тривиального узла пересечений нет, поэтому его число пересечений равно 0. Мы знаем, что трилистник и тривиальный узел различны, и имеется проекция трилистника с 3 пересечениями. Любой узел с 0, 1 или 2 пересечениями тривиален, поэтому число пересечений трилистника равно 3.
Узлы часто группируются по числу пересечений. Узлов с небольшим числом пересечений не очень много. Из табл. 18.1 видно, что трилистник — единственный узел с числом пересечений 3 (если не считать его и его зеркальное изображение за два), и существует всего семь простых узлов с шестью или меньшим числом пересечений. Но по мере увеличения числа пересечений количество различных узлов быстро возрастает168.
Таблица 18.1. Количество простых узлов с заданным числом пересечений
Как и с родом, и по той же самой причине с числом пересечений работать трудно. Посчитать число пересечений в заданной проекции легко. Но нет гарантии, что не существует другой проекции с меньшим числом пересечений. если имеется проекция узла K с n пересечениями, то мы можем только сказать, что c(K)≤ n. По счастью, как и род, число пересечений легко вычислить для альтернирующих узлов.
Сто лет назад Тэйт высказал гипотезу, что в редуцированной альтернирующей проекции узла число пересечений минимально. Здесь «редуцированная» означает, что перед подсчетом пересечений мы удаляем все несущественные пересечения типа показанного на рис. 18.14. Такое пересечение можно удалить, просто повернув часть узла на 180°. Если удалить все такие пересечения, предположил Тэйт, то оставшееся число пересечений минимально. Гипотеза Тэйта оставалась открытой много лет, но была независимо и одновременно доказана Луисом Кауфманом, Кунио Мурасуги и Морвеном Тистлетвейтом в середине 1980-х годов169.
Рис. 18.14. Несущественное пересечение
Эта теорема позволяет легко вычислить число пересечений для любого альтернирующего узла. Поскольку наши проекции трилистника, восьмерки, печати Соломона и пряничного человечка уже редуцированные и альтернирующие, найти их числа пересечений очень просто. Они равны соответственно 3, 4, 5 и 6. Так что один этот инвариант позволяет сделать вывод, что все эти узлы различаются, в т. ч. печать Соломона и пряничный человечек.
Разумно спросить, как число пересечений соотносится с произведением узлов. Есть ли красивая формула, связывающая c(K), c(L) и c(K#L)? Если K и L альтернирующие, то K#L тоже альтернирующий. Более того, действуя аккуратно, мы сможем взять редуцированные альтернирующие проекции K и L и соединить их так, что результирующая проекция K#L тоже будет редуцированной альтернирующей (действовать нужно не так, как мы поступали для квадратного узла). Следовательно, в этом частном случае число пересечений аддитивно.
Например, с(квадратный узел) = с(трилистник) + с(трилистник) = 3 + 3 = 6.
Аддитивно ли число пересечений для всех узлов, как род? Гипотеза о том, что это равенство имеет место для всех узлов, довольно стара. Но, как ни странно, до сих пор никто не смог ни доказать ее, ни предъявить контрпример!
В этой главе мы познакомились с некоторыми из многочисленных важных инвариантов узлов. Располагая этими инструментами, мы смогли различить шесть узлов, приведенных в начале этой главы. Наши находки сведены в табл. 18.2.
Эти инструменты позволили нам довольно далеко продвинуться по пути классификации. Но лишь до определенного предела. Две проекции на рис. 18.15, пряничный человечек и так называемый узел 63, — разные узлы, но с помощью наших инвариантов различить их невозможно. Оба узла простые, с 6 пересечениями, альтернирующие, нераскрашиваемые, рода 2. Чтобы их различить, нужны дополнительные средства.
Таблица 18.2. Сводный перечень свойств узлов
Рис. 18.15. Одинаковы ли пряничный человечек и узел 63?
Кроме того, мы не представили никаких методов, позволяющих показать, что две проекции — на самом деле один и тот же узел. Мы посвятили эту главу демонстрации того, что проекции соответствуют разным узлам. Призываем читателя порыться в литературе и исследовать эту интересную область теории узлов.
Взаимообмен между математикой и наукой устроен неравноценно. Наивно думать, что они работают рука об руку. Ученые предлагают математикам задачи, а математики создают теории, которые, как они надеются, будут полезны ученым.
