Тем временем неевклидова геометрия начала потихоньку появляться и в других областях математики, в первую очередь в комплексном анализе, где она связана с преобразованием Мёбиуса, отображающим окружности (и прямые) на окружности (и прямые). Вейерштрасс прочел лекцию на эту тему в 1870 г. Клейн, двигавшийся в том же направлении, уловил суть и обсудил эту идею с Софусом Ли. В 1872 г. он составил важный документ – Эрлангенскую программу, в которой определил геометрию как науку об инвариантах групп преобразований. Такой подход объединил почти все варианты, на которые успела разделиться к тому времени геометрия; основным исключением из этого перечня стала Риманова геометрия для поверхностей непостоянной кривизны, где подходящих групп преобразований просто нет. Пуанкаре зашел еще дальше, предложив, в частности, собственную модель гиперболической геометрии. Пространство в ней представляет собой внутренность круга, а «прямые» линии – дуги окружностей, подходящих к границе круга под прямыми углами.
Позже гиперболическая геометрия стала одним из стимулов к появлению Римановой теории искривленных пространств любой размерности (многообразий), на которой построена теория гравитации Эйнштейна (глава 15). В число ее приложений в современной математике входят комплексный анализ, специальная теория относительности, комбинаторная теория групп и гипотеза (теперь уже теорема) о геометризации Тёрстона в топологии трехмерных многообразий (глава 25).
4 июня 1832 г. французская газета
Ночь перед дуэлью Галуа посвятил краткому изложению на бумаге своих математических исследований, основная часть которых была сосредоточена на использовании особых наборов перестановок, которые он называл «группами», для определения того, может ли некоторое алгебраическое уравнение быть решено в формульном виде. Он описал также связь этой идеи с особыми функциями, известными как эллиптические интегралы. Из результатов его работы прямо следует, что не существует алгебраической формулы для решения обобщенного уравнения пятой степени – вопрос, ставивший математиков в тупик не одно столетие, прежде чем Паоло Руффини опубликовал почти полное, но ужасно длинное доказательство, а Нильс Хенрик Абель получил доказательство попроще.
