Такое впечатление, что все идеи в математике расположены как бы слоями, причем идеи каждого слоя связаны комплексом отношений не только между собой, но и с теми, что находятся над и под ними. Чем ниже слой, тем глубже (и чаще всего сложнее) идея. Так, концепция «иррациональных чисел» глубже концепции целых, а теорема Пифагора, соответственно, глубже Евклидовой.
Теперь давайте присмотримся повнимательнее к отношениям между целыми числами или объектами любой другой группы внутри конкретного слоя. Бывает, какое-то из этих отношений понять нетрудно; мы можем доказать некое очевидное свойство целых чисел без знания того, что находится слоем ниже. Например, теорему Евклида мы доказали, принимая во внимание лишь свойства целых чисел. Вместе с тем существует немало других теорем о целых числах, которые невозможно оценить по достоинству, а уж тем более доказать без понимания того, что происходит под ними.
За примерами далеко ходить не надо. Та же теорема Евклида, несмотря на всю ее важность, глубиной не отличается: для доказательства того, что простых чисел бесконечно много, можно вполне обойтись одним лишь понятием «кратности». Однако понимание того, что простых чисел бесконечно много, сразу же вызывает массу новых вопросов, например, как эти числа распределены? Если взять большое число
Я мог бы привести массу других примеров, но так и не приблизиться к определению «глубины» – понятию, неуловимому даже для математика, способного его распознать. Так что для остальных читателей я и подавно вряд ли смогу добавить что-либо полезное.
Нам осталось обсудить один момент из главы 11, где я сравнил «настоящую математику» с шахматами. Теперь, я полагаю, все согласны с тем, что настоящая математическая теорема бесспорно превосходит шахматы по содержательности, серьезности и значимости. Для тренированного интеллекта так же очевидно ее преимущество в красоте, хотя объяснить или обнаружить его куда сложнее, поскольку главный недостаток шахматной задачи – ее «несущественность», и разительный контраст в этом смысле затмевает любое чисто эстетическое суждение. И все же какие «чисто эстетические» качества можно отметить в теоремах Евклида и Пифагора? По этому поводу я позволю себе разве что пару разрозненных соображений.
Обе теоремы (и под теоремами я, разумеется, имею в виду и их доказательства) отличает высокая степень
Шахматные партии тоже бывают неожиданными и экономичными; непредсказуемость ходов и роль каждой фигуры на доске чрезвычайно важны. Тем не менее эстетическая сторона проявляется в них постепенно. Также важно (если, конечно, задача не слишком заурядная), чтобы ключевой ход допускал несколько ответных ходов, каждый со своим уникальным исходом. «Если белая пешка двигается на B5, то черный конь встает на F6; если… то…; а если… тогда…» – без множества вариантов не было бы такого эффекта. Это чистая математика со своими достоинствами, хотя в шахматах все сводится к тому самому «перечислению случаев» (причем не сильно отличающихся друг от друга по сути[89]), к которому настоящий математик относится скорее с пренебрежением.
Думаю, я мог бы усилить свои доводы, апеллируя к чувствам самих шахматистов. Великие гроссмейстеры, участники выдающихся партий и матчей, в глубине души не признают чисто математического подхода к шахматным задачам. У подлинного мастера в резерве немало комбинаций, к которым он может прибегнуть в экстренных случаях: «если мой оппонент сделает такой-то ход, я могу свести партию к такой-то выигрышной комбинации». Но «выдающаяся партия» – это прежде всего психологический поединок, конфликт между двумя тренированными интеллектами, а не просто набор кратких математических выкладок.
