В этой связи не могу не упомянуть о распространенном заблуждении. Некоторые полагают, что ученые-математики гордятся бесполезностью своей работы[90] и кичатся тем, что она не имеет практического применения. Инсинуация основана на неосторожном высказывании, приписываемом Гауссу, который якобы сказал, что если математика – царица наук, то теория чисел в силу своей абсолютной бесполезности – царица математики. Найти точную цитату мне так и не удалось. Я уверен, что высказывание Гаусса (если он вообще высказывался в таком духе) довольно грубо извращено. Если бы теория чисел могла пригодиться для какой-либо практической и достойной цели, если бы с ее помощью можно было сделать людей счастливее или облегчить их страдания, как в случае физиологии или даже химии, то, вне всякого сомнения, ни Гаусс, ни любой другой математик не стал бы приуменьшать ее значение или отзываться о ней пренебрежительно. Увы, наука действует как во благо, так и во зло (особенно в периоды войны). Радость Гаусса, да и математиков меньшего калибра, совершенно оправданна, если хотя бы одну науку – причем ту, которой занимаются они, – удается сохранить в чистоте и незапятнанности благодаря ее удаленности от обыденной человеческой деятельности.
Существует еще одно заблуждение, о котором нельзя забывать. Многие полагают, что в плане полезности «чистая» математика сильно отличается от «прикладной». И между ними действительно есть принципиальное различие, которое я сейчас объясню, только к полезности оно никакого отношения не имеет.
В чем же отличие чистой математики от прикладной? Ответ здесь вполне определенный, и по его поводу все математики сходятся во мнении. Однако несмотря на то, что ничего из ряда вон выходящего в моем ответе нет, он нуждается в некотором предварительном пояснении.
Следующие несколько параграфов слегка отдают философией. Углубляться в философию я не намерен, тем более что для моего главного тезиса это ничего не меняет. Просто я воспользуюсь словами, которые часто употребляются в определенном философском контексте и могут озадачить читателя, если не объяснить, какой смысл я в них вкладываю.
Я часто использую привычное для нас прилагательное «настоящий» в смысле «реальный». Я уже упоминал о «настоящей математике» и «настоящих математиках», как если бы речь шла о «настоящей поэзии» или «настоящих поэтах». В то же время я пишу о «реальности» – и у этого слова есть два разных значения.
В первую очередь я имею в виду «физическую реальность» в общепринятом смысле этого слова. Под физической реальностью я подразумеваю материальный мир, где день сменяет ночь, где случаются землетрясения и затмения – тот мир, который изучает физика.
Я уверен, что у читателей до сих пор не возникло трудностей с пониманием того, о чем я пишу, однако теперь мы вступаем на зыбкую почву. Для меня (и, полагаю, для большинства математиков) существует и другая реальность – назовем ее «математической реальностью», – относительно которой ни среди математиков, ни среди философов согласия нет. Некоторые считают ее «воображаемой», в некотором роде созданной нами, другие – существующей вне и независимо от нас. Тот, кому удастся объяснить математическую реальность, решит наисложнейшие проблемы метафизики. А если в этом объяснении будет задействована еще и реальность физическая, то в метафизике вообще не останется проблем.
Я не стал бы углубляться в эти вопросы, даже если бы хорошо в них разбирался, но позицию свою я изложу, причем в догматической форме во избежание малейшего недопонимания. Я убежден, что математическая реальность находится вне нас, что наша задача – открывать или просто
Пожалуй, контраст между чистой и прикладной математикой ярче всего проявляется в геометрии. К чистой геометрии[91] относятся такие науки, как проективная, евклидова, неевклидова и прочие геометрии. Каждая из них представляет собой модель, некую совокупность идей, ценность которых определяется оригинальностью и красотой конкретной модели. Они как карта или картина – совместное творение множества рук, субъективная и несовершенная (хотя точная в пределах своих границ) копия фрагмента математической реальности. Однако сейчас для нас важнее то, что по крайней мере в одном аспекте чистые геометрии картинами не являются: они не отражают пространственно-временну´ю реальность физического мира. Впрочем, это закономерно, ведь землетрясения и затмения – не математические концепции.
